수학지식 수학지식

1. 가감법(加減法, method of elimination by adding and subtracting) - 정의 일차방정식끼리 서로 더하거나 빼서 연립일차방정식의 해를 구하는 방법 - 수학사 연립일차방정식의 해를 가감법의 원리로 구한 최초의 기록은 약 1세기 무렵에 쓰인 것으로 알려진 중국의 구강산술에 제시되어 있습니다. 당시에는 미지수를 나타내는 기호가 사용되지 않았습니다. 이 책에서는 산가지를 사용하여 연립일차방정식의 해를 구하는 방법이 나옵니다. 먼저 일차방정식의 계수를 산가지로 숫자를 만들어 늘어놓고 각 계수를 지금과 같이 가로로 늘어놓지 않고 오른쪽부터 세로로 늘어놓습니다. 지금과 같이 미지수를 사용한 가감법은 12세기경에 개발되었습니다. 그리고 이러한 가감법이 유럽에 전해진 것은 그로부터..

1. 정다면체(正多面體, regular polyhedron) 정의 모든 면이 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 모두 같은 다면체 수학사 인류는 오래전부터 정다면체에 관심을 품었습니다. 고대 이집트인도 정사면체, 정육면체, 정팔면체에 대해서는 알고있었고, 기원전 2000년부터 1600년까지의 것으로 보이는 고대 바빌로니아 점토판 주엥 직육면체의 부피를 구하는 문제가 있는 것도 있었습니다. 본격적으로 정다면체를 이론적으로 연구하기 시작한 것은 기원전 6세기경 고대 그리스의 피타고라스학파부터입니다. 정사면체, 정육면체, 정십이면체는 피타고라스학파가 발견했고 정팔면체와 정이십면체는 플라톤의 친구인 테아이테투스(Theaetetus)가 발견했다고 합니다. 고대 그리스 사람들은 정다면체를 완벽한 ..

1. 원기둥(cylinder) 정의 정사각형의 한 변을 회전축으로 하여 1회전한 회전체 중요사항 (원기둥의 겉넓이) = (밑면의 넓이)×2+(옆면의 넓이) (원기둥의 부피) = (밑면의 넓이)×(높이) 2. 원뿔(cone) 정의 직각감각형의 직각을 낀 한 변을 회전축으로 하여 1회전한 회전체 수학사 "임의의 원뿔은 자신과 같은 밑면과 높이를 가진 원기둥의 부피의 1/3이다."라는 것은 고대 그리스의 수학자 에우독소스가 발견했습니다. 에우독소스가 발견한 원뿔과 원기둥의 관계는 유클리드의 원론에 나와 있습니다. 원론 제 11권에 나와 있는 원뿔, 회전축, 밑면의 정의는 다음과 같습니다. 직각삼각형에서 직각을 끼고 있는 한 변을 고정시킨 다음 삼각형을 돌려서 처음에 움직이기 시작했던 위치로 되돌아가도록 하면 ..

1. 삼각형의 닮음 조건 정의 두 삼각형이 닮음이 되기 위한 조건 수학사 삼각형의 닮음 조건을 처음 증명한 수학자는 고대 그리스의 탈레스입니다. 탈레스가 이집트를 여행했을 때 거대한 피라미드를 보고 그 높이를 실제로 측정해 알아낼 수는 없었습니다. 높이를 구하기 위해 고민하던 탈레스는 삼각형의 닮음 조건을 이용해 막대기 하나로 거대한 이집트의 피라미드의 높이를 알아낼 수 있었습니다. 직접 측정하지 않고 수학적 관계를 이용하여 높이를 알아낸 것은 당시로는 매우 획기적이었기 때문에 이집트의 왕이었던 아마시스가 크게 놀랐다고 합니다. 닮은 삼각형의 넓이의 비가 대응하는 변의 길이의 비의 제곱과 같다는 것은 고대 그리스 수학자 유클리드가 밝혔습니다. 중요사항 두 삼각형이 닮음이 되기 위한 조건은 3가지입니다. ..

1. 두 점 사이의 거리(distance) 정의 서로 다른 두 점을 연결한 선분의 길이 수학사 우리가 사는 지구는 곡면입니다. 배가 수평면 너머로 사라질 때 선체가 먼저 사라지고 돛대가 나중에 사라지는 것을 관찰하며 탈레스를 비롯한 고대인들은 지구가 구형이라는 것을 알았습니다. 하지만 유클리드의 원론에 들어있는 기하학은 평면 위에서 성립하는 평면기하학입니다. 평평한 종이 위에 두 점을 찍고 최단거리로 잇는다면 그냥 직선을 그리면 됩니다. 이렇듯 평면 위에서 두 점 사이의 최단거리는 직선의 일부인 평면이지만 곡면에서는 그렇지 않습니다. 곡면인 지구 위에서의 두 점 사이의 거리는 곡면에서 성립하는 비유클리드 기하학을 따라야 합니다. 중요사항 수직선에서 두 점 사이의 거리는 절댓값을 이용하여 구합니다. 좌표평..

1. 내각(內角, internal angle) 정의 다각형에서 이웃하는 두 변으로 이루어진 내부의 각 수학사 삼각형의 내각의 합이 항상 180도라는 사실은 기원전 6세기에 활동한 그리스 수학자 탈레스(Thales, 대략 BC 624~548)도 알고 있었지만 이것을 증명한 것은 피타고라스 학파가 처음이었습니다. 피타고라스 학파는 엇각의 성질을 이용해 증명했습니다. 고대 그리스 수학자 유클리드도 원론에서 ‘모든 삼각형의 내각의 합은 평각이다.’라는 증명이 나옵니다. 중요사항 다각형의 내각의 크기의 합은 삼각형의 내각의 크기의 합을 이용해서 구할 수 있습니다. 다각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 여러 개의 삼각형으로 나눈 다음, 이 삼각형들의 내각의 합을 모두 더하면 다각형 전체의 내각의 합이 됩니다. 2...

1. 각기둥(角기둥, prism) 정의 두 밑면이 서로 평행하고 합동인 다각형이며 옆면이 모두 직사각형인 다면체 수학사 고대 그리스의 유클리드(Euclid, BC300년경)는 원론 11권에서 각기둥에 대해 ‘각기둥이란 서로 반대 방향에 있는 두 도형들이 닮은꼴이며 크기가 같고 평행하고 나머지 도형들은 평행사변형들인 그런 도형으로 둘러싸인 입체를 말한다.’라고 정의했습니다. 중요사항 각기둥의 이름은 밑면의 모양에 따라 밑면이 삼각형인 각기둥은 삼각기둥, 밑면이 사각형인 각기둥은 사각기둥, 밑면이 오각형인 각기둥은 오각기둥, …이라고 부릅니다. 같은 각기둥이라도 펼치는 방법에 따라 전개도는 달라질 수 있습니다. 각기둥은 밑면과 옆면으로 구성되어 있으며 각기둥에서 두 밑면 사이의 거리를 각기둥의 높이라고 합니..

1. 왜곡된 세계지도 항공 운항노선 지도를 보면 신기한 점이 있습니다. 바로 어떠한 비행기도 직선으로 가지 않고 운항노선 대부분이 양극 쪽으로 휘어서 가는 경로를 따른다는 것입니다. 예를 들면 유럽에서 북미로 가는 장거리 노선은 아일랜드와 그린란드 쪽으로 경로가 휘고, 출발지와 도착지가 거의 같은 위도상에 있는데도 불구하고 항공노선은 평행선을 따라가지 않고 북쪽으로 올라갔다가 다시 남쪽으로 내려옵니다. 이런 노선도를 봤을 때, 지도상 비행기의 경로가 직선이 아닌 것에는 외교상의 이유 등의 실용적인 이유라 생각할 수도 있지만 사실은 더 기본적인 문제에 의한 것입니다. 기하학적인 이유인 것입니다. 보이는 것과 달리 비행기는 출발지에서 도착지로 가는 가장 짧은 경로로 움직이는 것뿐입니다. 세계지도는 언제나 왜..