수학 용어 정리_기하학 관련6

1. 정다면체(正多面體, regular polyhedron)

정의

모든 면이 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 모두 같은 다면체

수학사

인류는 오래전부터 정다면체에 관심을 품었습니다. 고대 이집트인도 정사면체, 정육면체, 정팔면체에 대해서는 알고있었고, 기원전 2000년부터 1600년까지의 것으로 보이는 고대 바빌로니아 점토판 주엥 직육면체의 부피를 구하는 문제가 있는 것도 있었습니다. 본격적으로 정다면체를 이론적으로 연구하기 시작한 것은 기원전 6세기경 고대 그리스의 피타고라스학파부터입니다. 정사면체, 정육면체, 정십이면체는 피타고라스학파가 발견했고 정팔면체와 정이십면체는 플라톤의 친구인 테아이테투스(Theaetetus)가 발견했다고 합니다. 고대 그리스 사람들은 정다면체를 완벽한 기하학적인 구조와 아름다움을 지닌 도형으로 생각했습니다. 그 이유는 정다면체가 어느 방향에서 보더라도 완벽한 대칭을 이루고 있기 때문입니다. 정다면체의 개수가 오직 5개뿐이라는 사실에 신비감을 가지고 특별한 의미를 부여한 사람 중에는 플라톤이 가장 유명합니다. 그리스 수학자 유클리드의 원론 중에 마지막 책인 제 13권은 전체가 정다면체에 대한 내용으로 채워져 있습니다. 헬레니즘 시대의 수학자 아르키메데스는 모든 면이 정다각형이지만 모든 정다각형이 합동은 아닌 준정다면체를 연구했습니다.

중요사항

정다면체의 종류는 모두 5가지로 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체입니다. 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나고 한 꼭짓점에서 모인 각의 크기의 합이 360도 보다 작아야 입체도형이 될 수 있습니다. 따라서 정다면체의 면의 모양이 될 수 있는 것은 정삼각형, 정사각형, 정오각형 3가지뿐입니다. 한 꼭짓점에서 정삼각형이 3개씩 모이면 정사면체, 한 꼭짓점에서 정삼각형이 4개씩 모이면 정팔면체, 한 꼭짓점에서 정삼각형이 5개씩 모이면 정이십면체입니다. 한 꼭짓점에서 정사각형이 3개씩 모이면 정육면체, 한 꼭짓점에서 정오각형이 3개씩 모이면 정십이면체입니다. 정육각형은 한 내각의 크기가 120도이므로 각 꼭짓점에 정육각형이 3개만 모여도 360도가 되어 완전히 펼쳐지므로 한 면이 정육각형인 경우에는 입체도형이 될 수 없습니다.

2. 중선(中線, median line)

정의

삼각형에서 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 이은 선분

수학사

파푸스의 중선 정리로 알려진 정리는 외국에서는 아폴로니우스의 정리로 더 많이 알려져 있습니다. 피보나치의 수열로 유명한 13세기 이탈리아 수학자 피보나치(Fibonacci)는 삼각형의 세 중선이 한 점에서 만난다는 것을 기하학적으로 증명하기도 했습니다.

중요사항

삼각형에서 각 중선은 삼각형의 넓이를 이등분합니다. 삼각형에서 세 중선은 한 점에서 만나며 이 점을 삼각형의 무게중심이라고 합니다. 한 삼각형에는 중선이 3개 있습니다.

3. 중점(中點, midpoint)

정의

선분의 길이를 이등분하는 선분 위의 값

중요사항

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 변의 길이의 1/2입니다. 삼각형의 한 변의 중점을 지나서 다른 한 변에 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지납니다. 중점은 선분에서만 구할 수 있으며 직선이나 반직선에서는 구할 수 없습니다.

4. 직교(直交, orthogonal)

정의

두 직선이나 두 평면이 직각으로 만나는 것

중요사항

직교하는 두 직선을 서로 수직이라고 하고 이때 한 직선을 다른 직선의 수선이라고 합니다. 직선이 평면에 수직일 때 ‘직선과 평면은 직교한다.’고 합니다. 평면 A가 평면 B에 수직인 직선을 포함할 때, ‘평면 A와 평면 B는 직교한다.’라고 합니다.

5. 평각(平角, straight angle)

정의

한 점에서 서로 반대 방향으로 그은 2개의 반직선이 일직선이 될 때 두 반직선이 이루는 각

중요사항

크기가 180도인 각을 평각, 평각의 1/2크기 즉, 크기가 90도인 각을 직각, 0도보다 크고 직각보다 작은 각을 예각, 직각보다 크고 평각보다 작은 각을 둔각이라 합니다.

6. 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)

정의

직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의 제곱과 같다는 정리

수학사

고대 그리스의 수학자 피타고라스(Pythagoras)의 이름이 붙은 ‘피타고라스 정리’는 그리스인뿐만 아니라 고대 바빌로니아인도 알고 있었습니다. 고대 바빌로니아 점토판에는 ‘직각삼각형에서 한 변이 4이고 빗변이 5이면 다른 한 변의 길이는 얼마인가?’라는 문제가 있습니다. 그들은 직각삼각형의 세 변이 되는 수들을 기록한 표를 만들기도 했습니다. 하지만 어떻게 해서 고대 바빌로니아인들이 피타고라스의 세 수를 구했는지는 밝혀지지 않았습니다. 거대한 피라미드를 만든 고대 이집트에서는 11개의 매듭을 지어 한 끈을 12등분한 다음, 이것으로 길이가 3, 4, 5인 직각삼각형을 만들었다는 기록이 있습니다. 고대 그리스의 수학자 디오판토스는 피타고라스 정리에 나오는 세 수가 자연수인 경우 세 수의 쌍을 구하는 법을 알아냈습니다. 동양의 경우 중국의 춘추전국시대인 기원전 700년경에 쓰인 것으로 추정되는 주비산경에서 피타고라스 정리를 찾아볼 수 있습니다.

중요사항

피타고라스의 정리는 직각삼각형 ABC에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a, b, 빗변의 길이를 c라고 하면 $a^2+b^2=c^2$입니다. 피타고라스의 정리를 이용하면 삼각형의 높이와 넓이를 구할 수 있습니다. 피타고라스의 정리 $a^2+b^2=c^2$를 만족하는 세 자연수 a, b, c를 ‘피타고라스 수‘라고 합니다.

7. 할선(割線, secant)

정의

원과 두 점에서 만나는 직선

중요사항

원과 직선이 한 점에서 만날 때는 접선, 두 점에서 만날 때는 할선이라고 합니다.

8. 현(弦, chord)

정의

원 위의 두 점을 이은 선분

수학사

기원전 2000년경 고대 바빌로니아인은 수많은 측정 경험을 통해 원의 지름을 3배하면 대략 원둘레가 된다는 것을 알게 되었습니다. 또한 반지름을 아는 원에서 현의 길이가 주어지면 원의 중심에서 현까지의 거리를 구할 수 있었습니다. 고대 그리스인은 원주율로 근삿값을 사용하지 않고 원의 둘레와 지름의 비라고만 했습니다. 기원전 250년경 시라쿠사에 살던 아르키메데스가 고대 그리스인 수학자로서는 드물게 원주율의 근삿값을 구했습니다. 아르키메데스는 정다각형을 이용해서 원주율의 근삿값을 구했는데 원에 내접하는 다각형과 외접하는 다각형의 둘레를 구하면 그 사이에 끼어있는 원의 둘레도 구할 수 있다고 생각했기 때문입니다. 3세기경 중국의 유희는 정 192각형을 이용해서 3.14024 < (원주율) < 3.142754 임을 계산했습니다. 원주율이 분수로 나타낼 수 없는 무리수임을 증명한 사람은 1761년 람베르트입니다. 원주율을 π라는 기호로 처음 정한 것은 1706년 영국 수학자 존스(Jones)였고, 이 기호를 널리 알린 사람은 스위스 수학자 오일러(Euler)였습니다. 1882년 독일의 린데만(Lindemann)은 π가 초월수(근호와 사칙연산만으로는 그 값을 나타낼 수 없는 수)임을 증명했습니다.

중요사항

현 중에서 가장 긴 것은 지름입니다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분합니다. 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지납니다. 한 원에서 원의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 서로 같습니다. 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있습니다. 현과 호로 이루어진 도형을 활꼴이라고 합니다. 호는 원둘레의 일부이지만 현은 원 둘레의 일부가 아닙니다. 또한 호의 길이는 중심각에 비례하지만 현의 길이는 중심각에 비례하지 않습니다. 원의 현 중에서 가장 긴 현인 지름과 원둘레와의 비가 바로 원주율인데 그 값이 무리수이기 때문에 딱 떨어지지 않아서 대략적인 근삿값을 사용할 수밖에 없습니다.

9. 회전체(回轉體, body of revolution)

정의

한 직선을 회전축으로 하여 평면도형을 1회전시켰을 때 생기는 입체도형

수학사

회전체 중에서 원뿔을 자른 단면은 원, 타원, 쌍곡선, 포물선 등의 곡선이 됩니다. 이런 곡선을 원뿔곡선이라고 하는데, 원뿔곡선을 발견한 사람은 기원전 350년경에 활동한 그리스 수학자 메나에크무스(Menaechmus)입니다. 플라톤의 친구이기도 했던 그는 꼭지각이 직각보다 크거나 직각보다 작거나 직각과 같은 다양한 원뿔을 모선에 수직으로 잘라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 모양을 만들었습니다. 메나에크무스가 원뿔곡선을 연구하게 된 것은 고대 그리스의 3대 작도 불능 문제를 해결하기 위해서였다고 합니다. 직선과 원만으로는 이 문제를 해결할 수 없었기 때문에 이를 해결할 수 있는 다른 곡선에 대한 연구를 하다가 원뿔곡선을 발견하게 되었습니다. 유클리드, 아르키메데스와 함께 그리스의 3대 수학자로 불리는 아폴로니우스는 소아시아의 페르게에서 태어나 이집트의 알렉산드리아에 가서 유클리드의 제자들과 함께 기하학을 공부했습니다. 그러면서 유클리드의 책을 토대로 원뿔곡선을 계속 연구했고, 원뿔곡선 이론을 최초로 일반화하여 기원전 230년경에 487개의 정리가 담겨진 원뿔곡선이라는 책을 썼습니다. 원뿔곡선은 행성의 궤도에도 이용되었습니다. 케플러는 그의 스승 브라헤의 방대한 관측 자료를 바탕으로 20년 동안 연구해서 행성의 궤도가 원이 아니라 태양을 한 초점으로 한느 타원이라는 것을 발견했습니다.

중요사항

회전체는 두형을 회전시킬 때 축이 되는 직선인 회전축과 회전체에서 옆면을 만드는 선분인 모선으로 구성되어 있습니다. 회전축에 수직인 평면으로 회전체를 자르면 회전체와 평면이 만드는 단면의 모양은 원이나 도넛 모양입니다. 회전축을 포함하는 평면으로 회전체를 자르면 회전체와 평면이 만드는 단면의 모양은 대칭축을 기준으로 좌우가 대칭인 도형입니다. 회전체를 비스듬히 잘랐을 때 회전체와 평면의 교선이 만드는 모양은 곡선입니다. 회전체 중에서 구의 단면은 항상 원입니다.