수학지식 수학지식

1. 제5공준의 등장 기원전 5세기 수학자 키오스의 히포크라테스(Hippocrates of Chios)는 기하학에서 알려진 요점을 정리하고 통합한 책인 ‘원론(Elements)’의 집필을 시작하였습니다. 기하학의 지식을 구조화하고 정리 하나 하나를 정확하게 증명하려 목표했던 저서였습니다. 안타깝게도 이 히포크라테스의 저서는 우리에게 전해지지 않았고, 히포크라테스 이후 200년 동안 히포크라테스의 뒤를 이었던 학자들의 저서들도 전해지지 않습니다. 마침내 기원전 3세기 히포크라테스의 마지막 제자인 유클리드의 저서가 출간됨으로써 현재에 전해지게 됩니다. 유클리드의 ‘원론’ 13권을 보면 평면기하학, 정수론, 비율 등을 다루고 있으며 마지막에는 3차원 기하학에 대해 다루고 있습니다. 가장 간단한 내용부터 까다로..

1. 아르키메데스의 연구 가장 큰 수에 대해 생각해 본 적이 있으신가요? 처음으로 아주 큰 수에 대해 체계적으로 연구한 사람은 기원전 287년경 시라쿠사에서 태어난 고대의 위대한 수학자 중의 하나인 아르키메데스입니다. 아르키메데스는 온 세상의 모래알의 개수, 우주 전체를 채우는 데 필요한 모래알의 개수 등을 궁금해 했습니다. 우주 크기의 모래알의 수를 추측해보기 위하여 아르키메데스는 큰 수를 가리키는 명명 체계를 확장했습니다. 그리스인은 10,000을 셀 수 없다는 뜻의 미리오스(murious)라고 불렀으며 로마인은 미리아드(myriad)라고 불렀습니다. 아르키메데스는 100,000,000을 미리아드 미리아드로 부르며 큰 수에 대해 탐구하였습니다. 아르키메데스 미리아드 미리아드 이하의 수에 ‘1차수’라는..

레온하르트 오일러는 말했습니다. 오늘날에 이르기까지 수학자들은 소수의 배열에서 질서를 찾기 위해 노력했지만 허사였다. 이제 우리는 그게 인간의 정신이 영원히 꿰뚫어 보지 못할 수수께끼라고 믿을 만한 이유가 있다. 자, 오늘은 이 소수에 대해 알아보겠습니다. 소수의 뜻 소수(prime number, 素數)는 오직 자기 자신과 1로만 나누어떨어지는 자연수입니다. 소수는 수학에서 가장 해결하기 어려운 난제의 일부와 관련 있고 실용적인 면에서도 매우 중요합니다. 한 예로 은행에서 현금 카드를 사용할 때마다 은행의 컴퓨터는 아주 큰 수로 알려진 두 소수의 곱으로 나타내는 한 가지 경우를 찾는 알고리즘을 이용하여 카드의 주인을 확인하곤 합니다. 금융 보안에서 많은 부분 소수에 의존하고 있는 것입니다. 소수의 신비 ..

집합의 개요 수학의 여러 분야를 공부하는 데 있어서 집합론의 용어와 표기를 이용하는 것이 편리할 때가 많다. 집합론은 19세기 말엽 조오지 부울(George Boole, 1815~1864)과 게오르그 칸도르(Georg F. L. P. Cantor, 1845~1918)에 의하여 개발되었는데 20세기에 접어들면서 수학의 발전에 심대한 영향을 끼쳤다. 직관적으로 '집합(Set)'이란 낱말은 식별가능한 대상들의 모임을 나타내는데 사용되고 그 모임의 개개의 대상들을 그 집합의 원소(element)라고 한다. 대상 a가 집합 S의 원소일 때 이것을 a ∈ S로 나타내고, "a는 S에 속한다(belong)" 또는 "S는 a를 포함한다(contain)"고 말한다. 편의상 원소가 하나도 없는 집합을 생각하여 이것을 공집..

4차원 공간에 대한 수학적인 관심은 19세기 초반의 독일 수학자인 페르디난트 뫼비우스(Ferdinand Mobius)의 연구에서 시작되었습니다. 4차원 공간에서 3차원 형태를 거울상으로 돌려 놓을 수 있다는 사실을 처음 알아낸 것도 페르디난트 뫼비우스 였습니다. 19세기 후반에는 다차원 기하학이라는 새로운 영역에 두각을 나타낸 세 수학자가 있습니다. 스위스 수학자인 루트비히 슐레플리(Ludwig Schlafli), 영국의 수학자인 아서 케일리(Arthur Cayley), 독일의 수학자인 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)입니다. 슐레플리는 다차원의 다각형과 다면체를 설명하며 플라톤 다면체(정다면체)의 고차원 친척을 찾아냈습니다. 플라톤 다면체는 각 면이 똑같은 다면체이고 각 꼭짓점에서 똑같은..

차원 우리는 3차원 세상에 살고 있습니다. 직선 같은 1차원이나 종이에 그린 도형과 같은 2차원 물체를 상상하는 것은 쉽지만 3차선을 넘어선 차원으로 보려면 어떻게 해야 할까요? 우리가 알고 있는 세 방향에 수직인 또 다른 방향은 있을 것인지 하는 것은 수학적인 질문으로 보일지도 모릅니다. 과학은 아원자 수준에서 일어나는 일을 설명하기 위해 고차원을 필요로 하고, 이런 여분의 차원은 물질과 에너지에 관한 것을 이해하는 데 큰 도움을 줄 수 있고, 의학과 과학에 쓸 수 있는 강력한 도구를 얻게 되는 것과 같습니다. 차원(dimension)이라는 단어는 측정을 뜻하는 라틴어 dimensionem에서 유래했습니다. 물리학자는 흔히 3차원 공간과 1차원 시간에 관해 이야기 하고는 합니다. 아인슈타인이 우리가 사..