수학 용어 정리_수와 식 관련1

1. 가감법(加減法, method of elimination by adding and subtracting)

- 정의

일차방정식끼리 서로 더하거나 빼서 연립일차방정식의 해를 구하는 방법

- 수학사

 

연립일차방정식의 해를 가감법의 원리로 구한 최초의 기록은 약 1세기 무렵에 쓰인 것으로 알려진 중국의 구강산술에 제시되어 있습니다. 당시에는 미지수를 나타내는 기호가 사용되지 않았습니다. 이 책에서는 산가지를 사용하여 연립일차방정식의 해를 구하는 방법이 나옵니다. 먼저 일차방정식의 계수를 산가지로 숫자를 만들어 늘어놓고 각 계수를 지금과 같이 가로로 늘어놓지 않고 오른쪽부터 세로로 늘어놓습니다. 지금과 같이 미지수를 사용한 가감법은 12세기경에 개발되었습니다. 그리고 이러한 가감법이 유럽에 전해진 것은 그로부터 500년이 더 지난 17세기경이었습니다.

 

- 중요사항

 

 가감법으로 연립일차방정식의 해를 구하는 과정은 다음과 같습니다.

연립일차방정식의 미지수 중에서 1개를 선택합니다. → 각 방정식에 적절한 상수를 곱합니다. 이때, 연립일차방정식을 이루는 각각의 일차방정식에서 이 미지수의 계수의 절댓값이 같아지도록 해야 합니다. → 두 개의 방정식을 서로 더하거나 빼면 2개의 미지수 중에서 1개가 없어져서 미지수가 1개인 일차방정식이 남습니다. → 이 일차방정식의 해를 구합니다. → 나머지 미지수의 해를 구합니다.

두 연립일차방정식을 서로 더할 것인가 뺄 것인가 하는 선택은 미지수의 개수의 부호에 달려있습니다. 계수의 부호가 서로 같을 때에는 뺄셈을 하고, 계수의 부호가 다를 때에는 덧셈을 합니다.

 

 

2. 거듭제곱(power)

- 정의

 

 같은 수나 문자를 여러 번 곱한 것을 간단히 나타낸 것

- 수학사

 거듭제곱을 나타내는 기호는 3세기경에 처음 만들어졌지만 거듭제곱의 개념은 그보다 더 오래되었습니다. 지금까지 고대 바빌로니아 지역에서 발견된 점토판 50만 개 중에 약 300개가 수학에 대한 것인데 그중 200개에는 표가 있습니다. 이 중에는 이자 계산을 위해 사용한 것으로 보이는 지수표,  $n^2$과 $n^3$에 대한 표, 그리고 이 둘을 합한 $n^2+n^3$에 대한 표도 있습니다. 이 표는 삼차방정식 문제를 해결할 때 사용된 것으로 보입니다. 고대 그리스의 수학자 유클리드의 원론 제 7권에는 제곱수와 세제곱수에 대한 정의가 나옵니다. '제곱수는 같은 수와 같은 수를 곱해서 만든 수를 말한다. 또는 같은 수 둘로 구성된 수를 말한다.(정의18)' '세제곱수는 같은 수에다 같은 수를 곱하고 또 같은 수를 곱해서 만든 수를 말한다. 또는 같은 수 셋으로 구성된 수를 말한다.(정의19)' 그 유명한 페르마의 마지막 정리도 거듭제곱과 관련이 있습니다. 디오판토스의 산학을 읽고 있던 페르마는 그 책의 여백에 '임의의 n 제곱수는 다른 두 n 제곱수의 합으로 될 수 없다.'라는 것을 메모로 남겼는데, 증명을 다 쓰기에는 여백이 좁다며 자신의 결론만 써놓았습니다. 사실 페르마가 이런 식으로 남긴 정리는 이외에도 여러 가지인데, 후대에 대부분 증명되었지만 유독 이 정리만 350년이 넘도록 증명되지 않아 마지막 정리로 불리곤 했습니다. 그러다 1994년 영국의 와일즈가 마침내 이 정리를 증명해 냈습니다.

- 중요사항

 

 거듭해서  곱한 수나 문자를 밑, 곱해진 횟수를 지수라고 합니다. 어떤 수를 소인수분해한 결과를 거듭제곱으로 나타낼 수 있습니다. 어떤 수를 거듭제곱으로 나타냈을 때 지수가 짝수라면 그 수는 제곱수입니다. 1을 거듭제곱한 결과는 항상 1입니다.

 

 

 

 

 3. 결합법칙 (結合法則, associative law)

 

- 정의

 

 (세 수 이상의 계산 또는 세 항 이상의 식의 계산에서) 묶음을 바꾸어 계산해도 그 결과가 같다는 법칙

 

- 수학사

 

 결합법칙은 괄호와 관련이 있습니다.  괄호는 혼합계산에서도 자주 사용됩니다. 괄호를 처음 만든 사람이 누구인지 정확하지 않지만 괄호 표기가 처음 등장한 것은 1544년이었고, 18세기 중반이 되면서부터 폭넓게 사용되었습니다. 특히 대괄호 [ ] 와 중괄호 {  } 는 1593년 무렵 프랑스의 비에트(Viete)가 처음 사용했습니다.

 

- 중요사항

 

 실수의 사칙연산에 대해 결합여칙의 성립 여부를  살펴보면 다음과 같습니다.

 덧셈 : 결합법칙 성립, 곱셈 : 결합법칙 성립, 뺄셈 : 결합법칙 성립 안함, 나눗셈 : 결합법칙 성립 안함

 결합법칙은 한 가지의 연산이 쓰인 계산에서 성립하는 법칙이며  두 가지 연산이 쓰인 식에서는 결합법칙에 대해 논하지 않습니다. 혼합계산에서 괄호는 수와 연산기호가 나열된 순서와 상관없이 먼저 계산해야 하는 부분을 묶어두는 것입니다. 결합법칙이 성립할 경우에는 괄호를 사용하지 않아도 됩니다.

 

 

 

4. 계수(係數, coefficient)

 

- 정의

 

 다항식에서 문자에 곱해진 수

 

 

- 중요사항

 

 단항식에서의 계수는 문자와 곱해진 수 부분입니다. 다항식에서는 각 항의 계수를 각각 구할 수 있습니다. 상수항은 문자 부분이 없으므로 상수항에 대해서는 계수를 말하지 않습니다. 계수가 +1인 경우에는 1을 생략합니다. 즉, 항 앞에 따로 수가 곱해져 있지 않은 경우에는 그 항의 계수를 +1 또는 -1로 보면 됩니다.  다항식에서 각 항의 계수를 구할 때는 그 수의 부호도 같이 밝혀야 합니다. 

 

 

 

5. 교환법칙(交換法則, commutative law)

- 정의

 

(세 수 이상의 계산 또는 세 항 이상의 식의 계산에서) 순서를 바꾸어 계산해도 그 결과가 같다는 법칙

 

 

- 수학사

 

'자연수에서는 덧셈의 교환법칙이 성립한다.'라는 것은 증명이 필요없는 공리입니다. 어떤 것을 증명하려면 그것을 증명하는  데 필요한 내용들이 먼저 증명되어야 합니다. 이런 식으로 증명을 하다 보면 더 이상 증명될 수 없는 것에 맞딱뜨리게 되는데, 이것을 공리라고 합니다. 공리는 증명하지 않고 참으로 받아들이는 것으로써, 수학에서 다른 정리들을 증명하는 데 사용됩니다. 

 

 

- 중요사항

 

 수의 연산에서의 교환법칙은 두 수의 위치를 서로 바꾸어서 계산하는 것을 말합니다. 위치를 바꾸어 계산해도 그 결과가 항상  변함이 없는 연산에 대해 교환법칙이 성립한다고 하고, 계산 결과가 달라질 경우에는 교환법칙이 성립하지 않는다고 합니다.

실수의 사칙연산에 대해 교환법칙의 성립 여부를 살펴보면 다음과 같습니다. 

 덧셈 : 교환법칙 성립, 곱셈 : 교환법칙 성립, 뺄셈 : 교환법칙 성립하지 않음, 나눗셈 : 교환법칙 성립하지 않음