수학 용어 정리_기하학 관련4

1. 삼각형의 닮음 조건

정의

두 삼각형이 닮음이 되기 위한 조건

수학사

삼각형의 닮음 조건을 처음 증명한 수학자는 고대 그리스의 탈레스입니다. 탈레스가 이집트를 여행했을 때 거대한 피라미드를 보고 그 높이를 실제로 측정해 알아낼 수는 없었습니다. 높이를 구하기 위해 고민하던 탈레스는 삼각형의 닮음 조건을 이용해 막대기 하나로 거대한 이집트의 피라미드의 높이를 알아낼 수 있었습니다. 직접 측정하지 않고 수학적 관계를 이용하여 높이를 알아낸 것은 당시로는 매우 획기적이었기 때문에 이집트의 왕이었던 아마시스가 크게 놀랐다고 합니다. 닮은 삼각형의 넓이의 비가 대응하는 변의 길이의 비의 제곱과 같다는 것은 고대 그리스 수학자 유클리드가 밝혔습니다.

중요사항

두 삼각형이 닮음이 되기 위한 조건은 3가지입니다. 대응하는 세 변의 길이의 비가 서로 같을 때 SSS 닮음, 대응하는 두 변의 길의 비가 서로 같고 그 끼인 각의 크기가 같을 때 SAS 닮음, 대응하는 두 각의 크기가 각각 같을 때 AA닮음이라고 합니다. 변을 영어로 side, 각을 영어로 angle이라고 하므로 영어 단어의 첫 글자만 따서 닮음 조건을 각각 SSS 닮음, SAS 닮음, AA 닮음이라고 합니다. 삼각형의 닮음 조건을 이용하여 사각형의 닮음 조건을 구할 수는 없습니다. 닮음 조건과 합동 조건의 차이점은 합동 조건에서는 대응하는 변의 길이가 같아야 하지만 닮음 조건에서는 대응하는 변의 길이의 비가 같아야 한다는 것입니다. 또한 합동 조건에서는 한 변과 양 끝각의 크기가 같아야 하지만 닮음 조건에서는 두 쌍의 대응각의 크기만 같으면 됩니다.

2. 삼각형의 합동 조건

정의

두 삼각형이 합동이 되기 위한 조건

수학사

‘두 삼각형의 대응하는 한 변과 양 끝각이 각각 서로 같으면, 두 삼각형은 합동이다.’, ‘두 삼각형에서 한 내각과 이것을 사이에 둔 두 변의 길이가 서로 같으면 두 삼각형은 합동이다.’라는 사실을 최초로 증명한 사람은 세계 최초의 수학자로 알려진 고대 그리스의 탈레스입니다. 탈레스는 이 정리를 이용해 중간에 산이나 호수, 바다가 있어 직접 거리를 잴 수 없는 두 지점 사이의 거리를 알아내거나 해안의 한 점에서 바다에 떠 있는 배까지의 거리도 알아낼 수 있었습니다. 현재 우리가 사용하는 합동기호는 독일 수학자 가우스(Gauss)가 1801년 수의 합동을 위한 기호로 사용했습니다. 지금은 두 수의 합동뿐만 아니라 두 도형의 합동을 나타내는 기호로도 사용합니다.

중요사항

두 삼각형이 합동이 되기 위한 조건은 3가지입니다. 대응하는 세 변의 길이 각각 같을 때 SSS 합동, 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고 그 끼인 각의 크기가 같을 때 SAS 합동, 대응하는 한 변의 길이가 같고 그 양 끝각의 크기가 각각 같을 때 ASA 합동이라고 합니다. 대응하는 세 각의 크기가 같을 때, SAS 합동에서 끼인 각이 없을 때, ASA 합동에서 양 끝각이라는 조건이 없을 때는 삼각형의 합동 조건이 아닙니다. 직각삼각형의 합동 조건은 2가지입니다. 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같을 때 RHA 합동, 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같을 때 RHS 합동입니다. SAS를 ASS 또는 SSA라고 하지 않으며 ASA도 AAS나 SAA로 쓰지 않습니다.

3. 수선의 발(垂線의 발, foot of perpendicular)

정의

한 점에서 직선에 수선을 그었을 때 수선과 직선과의 교점

4. 수직이등분선(垂直二等分線, perpendicular bisector)

정의

한 선분의 중점을 지나고 그 선분에 수직인 직선

중요사항

수직이등분선은 수직이라는 조건과 이등분이라는 조건 두 개를 모두 만족해야 합니다. 삼각형에서 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만납니다.

5. 엇각(alternate angle)

정의

서로 다른 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 각 중에서 엇갈린 위치에 있는 각

수학사

엇각은 고대 그리스의 피타고라스학파가 삼각형의 내각의 합을 구할 때 사용했습니다.

중요사항

평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만나서 생기는 엇각의 크기는 서로 같으며 엇각의 크기가 서로 같으면 두 직선은 평행합니다. 서로 평행한 두 직선이 다른 직선과 만날 때는 엇각의 크기가 같지만 두 직선이 서로 평행이 아닐 때에는 엇각의 크기가 같지 않습니다.

6. 외각(外角, external angle)

정의

다각형의 한 변과 그 이웃한 변의 연장선이 이루는 각

수학사

고대 그리스 수학자 아르키메데스는 3대 작도 불능 문제 중 임의 각의 3등분 작도하기 문제를 해결하기 위해 외각을 활용했습니다.

중요사항

n각형의 외각의 크기의 합은 360도입니다. 정다각형은 외각의 크기가 모두 같은 다각형이므로 정n각형의 한 외각의 크기는 360도/n 입니다. 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180도이고, 한 외각의 크기와 한 내각의 크기의 합도 180도입니다. 따라서 삼각형의 한 외각의 크기는 나머지 두 내각의 합과 같습니다.

7. 외심(外心, circumcenter)

정의

외접원의 중심

수학사

조선 시대에는 삼각형의 꼭짓점을 갑, 을, 병으로 나타냈습니다. 외심과 관련해 조선의 수학자 이상혁이 쓴 산술관견에는 다음과 같은 문제가 있습니다. ‘한 변이 12척인 정삼각형이 있다. 이 정삼각형의 넓이 및 내접원과 외접원의 지름을 구하라.’. 산술관견에서는 정삼각형의 넓이를 구할 때 우리가 지금 사용하는 공식을 사용했고, 무리수가 있을 때는 근삿값으로 구하였습니다.

중요사항

삼각형의 외심으로부터 각 꼭짓점에 이르는 거리는 모두 같습니다. 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점은 외심입니다. 삼각형의 외심의 위치는 예각삼각형은 삼각형 내부, 직각삼각형은 빗변의 중심, 둔각삼각형은 삼각형 외부입니다. 외심이라고 해서 항상 도형의 바깥쪽에 있는 것은 아닙니다.

8. 외접(外接, circunscription)

정의

도형이 다른 도형과 바깥쪽에서 접하는 것

수학사

외접에 대한 수학적인 정의는 고대 그리스 유클리드가 쓴 원로 제 4권에 다음과 같이 나옵니다. ‘한 다각형의 각각의 변들이 원둘레와 접하고 있으면 그 다각형은 원에 외접하고 있다.(정의4), 어떤 원의 둘레가 어떤 다각형의 각각의 각들을 지나면 그 원은 그 다각형에 외접하고 있다.(정의6)’ 이란 남서부 수사에서 발견된 고대 바빌로니아 점토판에는 ‘세 변의 길이가 50, 50, 60인 삼각형의 외접원의 반지름을 구라하.’라는 문제가 있습니다. 17세기 독일 수학자이자 과학자인 케플러(Kepler)는 정다면체에 내접하는 구와 외접하는 구가 바로 행성의 궤도라고 주장하며 자신의 책 우주의 신비에 그 궤도를 그려 넣었습니다.