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1. 왜곡된 세계지도
항공 운항노선 지도를 보면 신기한 점이 있습니다. 바로 어떠한 비행기도 직선으로 가지 않고 운항노선 대부분이 양극 쪽으로 휘어서 가는 경로를 따른다는 것입니다. 예를 들면 유럽에서 북미로 가는 장거리 노선은 아일랜드와 그린란드 쪽으로 경로가 휘고, 출발지와 도착지가 거의 같은 위도상에 있는데도 불구하고 항공노선은 평행선을 따라가지 않고 북쪽으로 올라갔다가 다시 남쪽으로 내려옵니다. 이런 노선도를 봤을 때, 지도상 비행기의 경로가 직선이 아닌 것에는 외교상의 이유 등의 실용적인 이유라 생각할 수도 있지만 사실은 더 기본적인 문제에 의한 것입니다. 기하학적인 이유인 것입니다. 보이는 것과 달리 비행기는 출발지에서 도착지로 가는 가장 짧은 경로로 움직이는 것뿐입니다.
세계지도는 언제나 왜곡되어 있습니다. 지구는 둥글고 지도는 평평하기 때문에 당연한 결과입니다. 지구 위에서 같은 거리를 지도로 옮기면 다르게 보일 수 있고, 그 반대도 마찬가지입니다. 운항지도는 메르카토르(mercator)도법을 사용합니다. 이런 지도투영법에서는 극지방과 가까운 지역을 적도에 가까운 지역보다 더 크게 그립니다. 메르카토르도법으로 그린 지도에서는 그린란드가 미국보다 더 크지만 실제로는 미국이 그린란드보다 약 5배 정도 더 큽니다. 바로 이런 효과 때문에 항공기 경로가 휜 것처럼 보이게 됩니다. 지구 구면 위에서 비행기를 관찰하면 가장 짧은 경로로 가는 것이 훨씬 더 분명하게 보입니다. 반대로 지도상에서는 직선으로 보였던 선이 구면에서는 갑자기 돌아가는 길처럼 보이기도 합니다.
2. 구면기하학
구면기하학(球面幾何學, spherical geometry)은 2차원 표면의 구의 기하학이다. 유클리드 기하학이 아닌 기하학의 한 예로 구면기하학의 원칙을 실용화한 것으로는 항법과 천문학이 있습니다. 현재는 비유클리드 기하학으로 분류되는 타원기하학의 특수한 경우로 알려져 있으며 리만 기하학(Riemannian geometry)의 별칭으로 쓰일 때도 있는데, 그것은 공리계(公理系)가 구면 위의 기하학과 동등하기 때문입니다.
구면기하학을 공부하다 보면 당황스러운 점을 발견하게 됩니다. 예를 들면 남쪽에 있는 곳을 가려고 북쪽으로 가야 하는 일이 생기게 되는 것입니다. 캐나다 밴쿠버와 이집트 알렉산드리아를 잇는 노선을 보면 알렉산드리아가 더 남쪽에 있지만 알렉산드리아에 가는 데 가장 짧은 경로는 먼저 북쪽으로 올라간 다음 다시 남쪽으로 내려가는 것입니다.
구면기하학의 속성은 ‘원론’에 있는 용어를 새롭게 해석하려고 탐구하는 사람들에게 특히 흥미롭습니다. 항공사 조종사가 본인은 밴쿠버에서 알렉산드리아까지 직선으로 간다고 주장한다면 그 조종사는 유클리드와 같은 의미로 직선이라는 용어를 사용한 것은 아닙니다. 유클리드에게 밴쿠버와 알렉산드리아를 잇는 직선은 지구 내부를 통과하는 선이기 때문입니다. 조종사가 말한 내용은 지구의 둥근 표면을 따라 두 도시 사이 가장 짧은 길로 간다는 뜻으로 이해해야 하며 조종사가 말한 직선은 실제로는 원호(圓弧)입니다.
3. 구면기하학과 유클리드기하학
조종사의 직선과 유클리드의 직선이 같은 뜻이 아니므로 기하학의 고전적인 정리가 이 해석에 따르면 어떻게 되는지 생각해 볼 수 있습니다. 극지방으로 휜 항공노선에 직선이라는 이름을 붙여도 다섯 가지 공준을 검증할 수 있을까요?
유클리드 기하학에서 직선 공준은 ‘서로 다른 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 잇는 직선을 유일하게 그을 수 있다.’입니다. 이것을 구면기하학에서 생각해 봅시다. 남극점에 가려고 북극점에서 이륙한 비행기를 생각했을 때 가장 짧은 경로는 어디일까요? 어느 방향으로 가도 같기에 어떤 자오선이든 따라갈 수 있으며 이때 비행기가 활공한 거리는 같습니다. 두 점을 지나는 직선은 유일한 것이 아니라 무수히 많다는 것을 알 수 있으므로 직선 공준은 거짓이 됩니다.
이런 방식으로 구면기하학을 분석해 가면 연장 공준(임의의 선분은 더 연장할 수 있다.), 원 공준(서로 다른 두 점 A, B에 대해, 점 A를 중심으로 하고 선분 AB를 한 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.), 직각 공준(모든 직각은 서로 같다.)은 사실이라는 것을 알 수 있지만 평행성 공준(제5공준, 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 단 하나 존재한다.)은 거짓이라는 것을 알 수 있습니다. 정리하자면 구면기하학에서는 유클리드의 정리를 적용할 수 없으며 대부분의 결과가 부정확할 것입니다.
또 다른 예로 지구 표면에서는 정사각형이 존재하지 않습니다. 비행기는 네 변의 길이가 같고 네 각이 모두 직각인 경로를 따를 수 없습니다. 조종사가 이륙한 다음 직각으로 4번 꺾으면서 각각 5000km씩 4번 간다면 비행기는 출발지에 착륙하지 않습니다. 출발지로 돌아오고 싶다면 방향을 전환할 때 직각보다 약간 더 큰 각도로 꺾어야 합니다.
구면기하학은 유클리드기하학이 아닙니다. 다섯 가지 공준에서 3가지만 유효하기 때문입니다. 만약 어떤 사람과 토론할 때 상대방이 말하는 직선이 유클리드가 말하는 직선인지 항공기 조종사가 말하는 직선인지 모르겠다면 상대방에게 정사각형이 존재하는지 물어본다면 상대방이 어떤 의미로 직선을 말하는 것인지 알 수 있습니다.
4. 구면기하학의 성질
-모든 서로 다른 두 직선은 두 점에서 만난다.
-삼각형의 내각의 합이 항상 180도 보다 크고 540도보다 작다.
-같은 구면 위에 있는 삼각형의 면적비는, 내각의 합에서 180도를 뺀 것의 비이다. (예를 들어, 내각의 합이 190도인 삼각형과 내각의 합이 200도 인 삼각형의 면적비는(190-180):(200-180)=10:20=1:2이다.)
-같은 구면 위에는 합동을 제외한 닮음은 존재하지 않는다. (세 각이 같은 경우, 내각의 합이 같아 면적이 같다.)
-구면 기하학에서는 유클리드 기하학에 없는 일각형과 이각형이 존재한다.
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