수학 용어 정리_기하학 관련5

1. 원기둥(cylinder)

정의

정사각형의 한 변을 회전축으로 하여 1회전한 회전체

중요사항

(원기둥의 겉넓이) = (밑면의 넓이)×2+(옆면의 넓이)

(원기둥의 부피) = (밑면의 넓이)×(높이)

2. 원뿔(cone)

정의

직각감각형의 직각을 낀 한 변을 회전축으로 하여 1회전한 회전체

수학사

"임의의 원뿔은 자신과 같은 밑면과 높이를 가진 원기둥의 부피의 1/3이다."라는 것은 고대 그리스의 수학자 에우독소스가 발견했습니다. 에우독소스가 발견한 원뿔과 원기둥의 관계는 유클리드의 원론에 나와 있습니다. 원론 제 11권에 나와 있는 원뿔, 회전축, 밑면의 정의는 다음과 같습니다.

직각삼각형에서 직각을 끼고 있는 한 변을 고정시킨 다음 삼각형을 돌려서 처음에 움직이기 시작했던 위치로 되돌아가도록 하면 이때 삼각형에 둘러싸인 입체가 원뿔이다 만약 이때 고정시킨 직선이 직각을 끼고 있는 나머지 한 변과 길이가 같으면 이 원뿔은 직각이다. 만약 더 짧으면 이 원뿔은 둔각이다. 만약 더 길면 이 원뿔은 예각이다. (정의 18), 원뿔의 축이란 삼각형을 돌릴 때 고정되어 있던 직선, 즉 삼각형이 회전할 때의 축을 말한다. (정의 20), 원뿔의 밑면은 직선이 돌면서 그린 원을 말한다. (정의 21)

17세기 수학자이자 과학자인 독일의 케플러는 원과 원뿔의 정의에 대해 "원은 중심을 한 꼭짓점으로 하고 현을 한 변으로 하는 작은 삼각형들이 무수히 많이 모인 것이며, 원뿔은 한 점에서 만나는 꼭짓점을 중심으로 한없이 작은 밑면을 가진 각뿔이 모인 것이다."라고 했습니다. 유클리드는 원뿔을 회전체로 보았고 케플러는 무한히 작은 각뿔이 모여 원뿔이 된다고 본 것입니다. 이탈리아 수학자 카발리에리(Cavalieri)는 "두 공간도형을 서로 평행한 평면으로 자른 단면의 넓이의 비가 항상 m : n 으로 일정하면, 두 도형의 부피의 비도 m : n이다."라는 카발리에리의 원리를 발견했습니다.

중요사항

원뿔의 전개도를 보면 옆면은 부채꼴인데 부채꼴의 중심각의 크기에 따라 전개도가 달라질 수 있습니다.

(원뿔의 겉넓이)=(밑면의 넓이)+(옆면의 넓이)

(원뿔의 부피)=(밑면의 넓이)×(높이)×1/3

3. 원뿔대(circular truncated cone)

정의

원뿔을 그 밑면에 평행한 평면으로 자를 때 생기는 두 입체도형 중에서 원뿔이 아닌 입체도형

수학사

기원전 2000년부터 1600년까지의 것으로 보이는 점토판 중에는 원뿔대의 부피를 구하는 점토판도 있습니다. 여기서는 밑면들의 합의 1/2과 높이를 곱하였는데 이는 정확한 계산은 아니었습니다. 원뿔대의 부피에 관한 정확한 계산은 고대 그리스의 에우독소스가 원뿔의 부피가 원기둥의 부피의 1/3이라는 발견한 이후에서야 이루어졌을 것으로 보입니다.

중요사항

원뿔대를 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면은 원이고, 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 사다리꼴입니다. 원뿔의 밑면은 1개이지만 원뿔대의 밑면은 2개입니다. 원기둥의 두 밑면은 서로 합동이지만 원뿔대의 두 밑면은 합동이 아닙니다. 원뿔의 옆면은 부채꼴이고 원기둥의 옆면은 직사각형이지만 각뿔대의 옆면은 부채꼴의 일부가 잘려나간 모양입니다. 원뿔을 밑면에 평행한 평면으로 자르면 원뿔과 원뿔대로 나뉩니다.

4. 원주각(圓周角, angle of circumference)

정의

원주 위의 한 점에서 그은 두 개의 현이 만드는 각

수학사

고대 바빌로니아인은 반원에 내접하는 삼각형의 한 각이 직각이라는 사실을 알고 있었습니다. 하지만 한 원에서 반원의 원주각의 크기가 90도라는 것을 최초로 증명한 사람은 고개 그리스 수학자 탈레스입니다. 탈레스가 증명한 내용은 ‘원 위의 한 점과 지름의 양 끝을 연결한 2개의 현은 서로 수직으로 만난다.’입니다. 이 내용을 다르게 표현하면 ‘원주각은 직각이다.’이고, 이것을 탈레스의 정리라고 합니다. 고대 그리스 수학자 유클리드는 원론 제 3권에 반원에 내접하는 삼각형에 관한 탈레스의 정리를 실기도 했습니다.

중요사항

한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 1/2입니다. 한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같습니다. 반원에 대한 원주각의 크기는 90도입니다. 길이가 같은 원에 대한 원주각의 크기는 서로 같습니다. 크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이는 서로 같습니다. 원주각의 크기는 호의 길이에 정비례합니다.(중심각이 호의 길이에 정비례하므로 원주각의 크기도 호의 길이에 정비례합니다.)

5. 작도(作圖, construction)

정의

눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 것

수학사

작도에는 자와 컴퍼스가 필요합니다. 이것은 고대 이집트엣 사용한 밧줄이 발전된 것인데 밧줄을 사용하면 직선을 만들 수 있고 원도 그릴 수 있기 때문입니다. 서양에서 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 작도하는 것은 플라톤 때부터입니다. 유클리드의 원론에서도 작도에 대한 여러 내용이 나오는데 대표적인 것으로 ‘주어진 한 점에서 다른 임의의 점까지 직선을 그을 수 있다. 주어진 중심과 반지름으로 원을 그릴 수 있다.’ 등입니다. 유클리드는 원론에서 삼각형, 오각형, 15각형의 작도법을 내놓았으며 각도를 이등분하는 방법으로 6각형, 8각형, 10각형의 작도도 내놓았지만 정 7각형, 정 9각형 등의 작도에 대한 언급은 없습니다.

중요사항

작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용하는데 눈금 없는 자는 길이를 재는 것이 아니라 곧은 선을 그리는 데 사용하고 컴퍼스는 원을 그리거나 선분의 길이를 다른 데로 옮기는 데 사용합니다. 세 변의 길이가 주어졌을 때, 한 변의 길이와 양 끝각의 크기가 주어졌을 때, 두 변의 길이와 그 끼인 각의 크기가 주어졌을 때 삼각형을 작도할 수 있습니다.

6. (원의) 접선(接線, tangent line)

정의

원과 한 점에서 만나는 직선

수학사

원의 접선에 대한 논쟁은 오래전부터 있었습니다. 고대 그리스의 유명한 소피스트 중 한 사람이었던 프로타고라스(Protagoras)는 원의 접선이란 존재할 수 없다며 다음과 같이 말했습니다. ‘원과 한 점에서 접하는 접선이라는 것이 존재할 수 있나? 원과 직선이 떨어져 있으면 한 점도 공유할 수 없을 것이고, 또 붙어있다면 한 점이 아닐 것이기 때문이다.’ 이에 대하여 데모크리토스(Demokritos)는 다음과 같이 말했습니다. ‘인간은 불완전한 도구를 사용하기 때문에 실제로는 원의 접선을 그릴 수 없다. 하지만 우리는 정신의 눈으로 볼 수 있으며 논증을 통해 그것을 알 수 있다.’ 유클리드의 원론 제 3권에서는 원의 접선에 대한 정의가 나와 있습니다. ‘어떤 직선이 원과 만나지만 그 직선을 아무리 길게 늘여도 원을 자르고 지나가지 않으면 그 직선은 원에 접한다고 말한다. (정의 2)’ 17세기 프랑스 수학자 데카르트(Descartes)는 방정식을 통해 원의 접선을 구하는 방법을 연구했습니다. 그는 기하학 문제를 방정식으로 해결할 수 있으며 도형을 사용해서 방정식의 해를 구할 수도 있다고 주장했습니다.

중요사항

원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름과 수직입니다. 원 밖의 한 점에서 그을 수 있는 접선은 2개이며 원 밖의 한 점과 접점까지의 길이를 접선의 길이라고 합니다. 한 점에서 그은 접선의 길이는 모두 같습니다. 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같습니다. 원과 접선은 단 한 점에서만 만나지만 접선과 한 점 이상에서 만나는 곡선도 있습니다.