수학용어정리_수와 식 관련9

1. 연립일차방정식 (聯立一次方程式數, simultaneous equation)

 

- 정의

두 개 이상의  일차방정식을 묶어 놓은 것

 

- 수학사(연립일차방정식의 역사)

1세기 무렵에 쓰인 것으로 추정되는 13권짜리 중국 수학책 구장산술에는 다양한 연립방정식들이 소개되어 있습니다. 이 책의 제목은 산술에 대한 9개의 장이라는 뜻을 지니고 있는데, 여기에는 총 246개의 문제가 실려 있습니다. 그중 제 8권의 문제 9번은 다음과 같습니다.

'참새 5마리와 제비 6마리가 있는데 모아서 무게를 달아보니 참새가 무겁고 제비가 가벼웠다. 참새 한 마리와 제비 한 마리를 서로 바꾸었더니 저울이 평형을 이루었다. 참새와 제비 전체의 무게는 16냥이다. 각각 한 마리당 무게는 얼마인가?'

 참새 한 마리의 무게를 $x$로, 제비 한 마리의 무게를 $y$로 놓고 식을 세우면 참사 5마리와 제비 6마리의 무게가 16냥이라고 했으므로 $5x+6y=16$입니다. 또한 참새 한 마리와 제비 한 마리를 서로 바꾸었더니 저울이 평형을 이루었다고 했으므로, 참새 4마리와 제비 1마리를 더한 $4x+y$와 참새 1마리와 제비 5마리를 더한  $x+5y$는 서로 같습니다.

즉 연립방정식 $4x+y=x+5y, 5x+y=16$이 됩니다.

구장산술에서는 이 문제를 간단하게 풀 수 있도록 상황을 바꾸었습니다. 전체 무게가 16냥인데 한 마리씩 바꾼 무게가 서로 같으므로 $4x+y$는 전체 무게의 절반인 8냥이라는 것입니다. 따라서 이 식은 $4x+y=8, x+5y=8$이 되어 문제를 해결하기가 훨씬 쉬워집니다.  

정답은 $ x=\frac{32}{19}, y=\frac{24}{19} $입니다.
 

-중요사항

1) 연립일차방정식에서 각각의 일차방정식을 동시에 만족시키는 미지수의 값을 연립일차방정식의 해라고 합니다. 

2) 연립일차방정식의 해는 가감법과 대입법을 사용해서 구합니다.

3) 미지수가 2개인 연립일차방정식의 해는 일반적으로 (x, y) 한 쌍입니다.

4) 특수한 해를 가지는 연립일차방정식이 있습니다.

    해가 무수히 많은 경우(부정)  : 두 식이 똑같아서 두 식을 공통으로 만족하는 해가 무수히 많다

    해가 없는 경우(불능) :  상수항만 달라서 두 식을 공통으로 만족하는 해를 구할 수 없다.

 

 

 

2.  완전제곱식 (完全제곱式, perfect square expression)

- 정의

 다항식의 제곱꼴로 나타낸 식

 

- 수학사(완전제곱식의 역사)

 제곱은 정사각형을 의미하므로 완전제곱은 예로부터 정사각형과 관련이 있었습니다. 9세기 이슬람 수학자 알콰리즈미(Alkwarizmi)는 다음 문제를 도형을 이용하여 풀었습니다.

'얼마의 제곱에 얼마의 10배를 더하면 39디르헴(direm, 화폐 단위)이 된다. 얼마는 얼마인가?'

이 문제는 이차방정식 $x^{2}+10x=39$의 해를 구하는 것이므로, -13이라는 해도 존재합니다. 하지만 알콰리즈미는 이를 도형을 이용하여 풀어 양수 해인 3만 구할 수 있었습니다.  

 

-중요사항

1) $x^{2}+ax+b$가 완전제곱식이 되기 위한 일차항과 상수항의 조건은 다음과 같습니다.

   일차항 : 일차항 $ax$의 값은 양쪽 끝항의 제곱근 곱의 2배가 되어야 합니다.

   상수항 : 일차항의 계수 $a$의 절반의 제곱이 되어야 합니다. 

2) 완전제곱식에서  제곱식 앞에 곱해진 계수는 제곱수가 아니어도 됩니다.

 

 

3. 유리수(有理數, rational number)

- 정의

분수 꼴로 나타낼 수 있는 수

 

- 수학사(분수의 역사)

 유리수를 나타내는 두 가지 방법은 분수와 소수인데, 고대 수학에는 주로 두 수의 비를 나타내는 분수를 사용했습니다. 지금까지 남아있는 기록을 살펴보면 분수를 처음 사용한 사람들은 기원전 1800년경의 고대 바빌로니아인이었고, 이집트인이 단위분수를 사용하게 된 것은 기원전 1650면 무렵이었습니다. 

 고대 그리스 시대엔느 숫자의 모양이 여러 번 바뀌었는데, 그에 따라 분수 표기도 바뀌었습니다. 기원전 600년에서 기원전 300년 무렵에 그리스에서는 27개의 그리스 알파벳 소문자로 1에서 900까지의 수를 나타냈습니다. 여기에 페니키아 알파벳의 세 문자(스티그마, 코파, 삼피)가 추가로 도입되었습니다.  또한 이런 숫자들이 문자와 헷갈리지 않도록 알파벳 위에 줄을 그리기도 했습니다. 

 고대 그리스에서는 이집트처럼 분수 $ \frac{1}{2} $을 나타내기 위해 특별한 기호를 만들기도 했습니다. 일반적으로 나타내는 수에는 프라임표시를 한 번(')하고, 분모를 나타내는 수에는 프라임 표시를 두 번(") 하거나 두 번씩 적기도 했습니다. 분자는 아들, 분모는 어머니라고 표현한 사람들은 중국인입니다. 영어로 분수를 나타내는 단어인  fraction은 아라비아 수학자 알콰라즈미의 책에서 나왔습니다. 그가 쓴 카스르라는 용어는  아라비아 말로 나누기를 뜻하는데 이 책이 라틴어로 번역되면서  fraction이 된 것입니다. 

 1202년 피보나치의 산반서에는 분자와 분모 사이에 가로선을 사용해서 분수를 나타내는 방법이 처음으로 등장하는데, 분수에 가로선을 쓰는 것은 인도인이 만든 것으로 아라비아에 널리 퍼진 표기였습니다. 지금처럼 가로선을 사용해서 분수를 나타내는 방식이 대중화된 것은 1700년대 이후입니다. 

 한편 대분수를 나타낼  때 지금은 자연수 부분을 왼쪽에 쓰지만 과거에는 자연수 부분을 분수의 오른쪽에 쓰기도 했습니다.

 이러한 분수를 포함에 유리수에 대한 연구가 본격화된 것은 무리수에 대한 이론이 체계적으로 연구된 19세기 이후입니다.

 

-중요사항

1) 유리수는 분수 모양으로 나타낼 수도 있고 소수 모양으로 나타낼 수도 있습니다. 

2) 유리수는 실수에 포함됩니다. 실수 중에서 분수 꼴로 나타낼 수 있는 수가 유리수이고, 분수 꼴로 나타낼 수 없는 수가 무리수입니다.

3) 유리수는 정수를 포함합니다. 유리수는 정수로 나타낼 수 있는 유리수와 정수로 나타낼 수 없는 유리수로 분류됩니다.

4) 유리수는 유한소수 또눈 순환하는 무한소수로 나뉩니다.

5) 0을 기준으로 유리수를 분류하면 양의 유리수와 음의 유리수로 나뉩니다.

6) 유리수끼리의 사칙연산의 결관느 항상 유리수입니다.

7) 유리수를 제곱하면 항상 0보다 크거나 같습니다.

8) 서로 다른 두 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 있습니다.

 

 

 

4.  유한소수(有限小數, finite decimal)

 

- 정의

소수점 아래의 0이 아닌 숫자가 유한개인 소수

 

- 수학사(소수의 역사)

 유한소수는 소수이므로 소수를 통해 유한소수의 역사를 살펴볼 수 있습니다. 분수는 고대 이집트 시대로 거슬로 올라가지만 소수가 처음 만들어진 것은 15~16세기에 이르러서입니다. 

15세기 초 아라비아의 수학자 알 카시(Al-kashi)는 원주율의 근삿값을 계산하면서 60진법 소수와 10진법 소수를 사용했습니다. 그는 자신이 10진법 소수의 창시자라고 생각했지만 소수를 발명한 수학자로 널리 알려진 사람은 네덜란드의 스테빈(Stevin)입니다.  그가 소수를 만든 이유는 분수를 자연수처럼 옆으로 길게 쓰기 위해서였습니다.  상점의 점원이었던 스테빈은 나중에는 네덜란드(당시에는 플랑드르) 윌리엄 공의 아들 마우리츠(모리스) 공의 가정교사가 되었습니다.  이후 경력을 쌓아 제방 감독관과 군대의 병참 감독관에 이어 재무부 장관에까지 이르게 됩니다. 어느 날 그는 정확히 계산하는 방법을 연구하다가  르네상스 시대의 이탈리아 수학자들의 문헌을 살펴보게  되었습니다. 그러면서 12세기에 피보나치가 소개한 인도, 아라비아 숫자에 대해 연구하게 되었습니다.  마침내 1585년에 바빌로니아의 60진법을 10진법으로 바꾼 소수 표기법을 발표하기에 이릅니다. 그는 '이제부터 상업에서 마주치는 모든 계산이 분수의 도움 없이 오직 정수만으로 이루어질 수 있을 것이다.'라고 했습니다. 

 스테빈의 소수 표기법은 사실 그가 지수를 나타낼 때 이미 썼던 방법을 응용한 것이었습니다.  예를 들어 그는 $4x^{3}+5x^{2}-7$이라는 식을  나타낼 때 4③+5②-7ⓞ이라고 썼었는데 이를 소수에 응용해 정수자리는 ⓞ으로 1/10은 ①,  1/100은 ②, ....으로 나타낸 것입니다. 

 그 후 사람들이 ①, ②와 같은 표시가 불필요하다고 생각해 없애고 ⓞ만 남겨두었는데, 이것이 지금의 소수점이 되었습니다. 

한편, 스테빈은 당시 유럽의 수학자들이 모국어가 아닌 라틴어로 책을 쓰는 관례를 깨고 자신의 책을 모두 플랑드르어로 썼습니다. 

 

-중요사항

1) 소수는 유한소수와 무한소수로 나뉩니다. 또한 유한소수는 정수로 나타낼 수 있는 유한소수와 정수로 나타낼 수 없는 유한소수로 나뉩니다. 

2) 모든 유한소수는 분모가 10의 거듭제곱인 분수로 나타낼 수 있습니다. 

    즉, 분모가 10, 100, 1000과 같이 10의 거듭제곱 꼴로 나타낼 수 있는 분수를 소수로 나타내면 유한소수가 됩니다. 이때, 10의 소인수는 2나 5뿐입니다. 따라서 어떤 분수를 기약분수로 나타냈을 때, 분모의 소인수가 2나 5일 때에만 유한소수로 나타낼 수 있고, 그 외의 경우는 유한소수로 나타낼 수 없습니다. 

3) 모든 유한소수는 분수 꼴로 만들 수 있지만 모든 분수를 유한소수 꼴로 만들 수 있는 것은 아닙니다.

 

 

 

 

5. 음수(陰數, negative number)

 

- 정의

0보다 작은 수

 

- 수학사(음수의 역사)

 음수가 비로소 수학적 개념으로 인정받게 된 것은 19세기에 이르면서였습니다.  이렇게 오랜 세월이 걸린 이유는 고대 그리스 이래로 서양 수학에서는 수를 선분의 길이로 나타냈기 때문입니다. 음수는 아무것도 없는 0보다도 작은 수이기 때문에 실제 길이로는 나타낼 수가 없습니다. 그러니 음수는 존재할 수 없었습니다. 그리스의 수학자 디오판토스조차 4x+20=4와 같이 해가 음수인 경우는 풀 수 없다고 생각했습니다. 

 음수를 처음 수로 인식한 것은 동양이었습니다. 동양에서는 기원전부터 실용적인 목적에서 음수를 사용해왔는데, 중국에서는 기원전부터 금전문제에서 빚이나 지불해야 할 양을 음수로 사용하였습니다.  음수에 대한 최초 기록은 1세기경 중국의 구장산술에 나와 있습니다. 이 책에는 양수는 붉은색 막대로, 음수는 검은색 막대로 표현되어 있습니다. 하지만 이런 표시가 처음부터 양수나 음수를 나타내기 위해서 만들어진 것은 아니었고, 원래는 더하기나 빼기를 나타내기 위한 일종의 표시였습니다. 

12세기 수학자 이야는 마지막 숫자에 대각선으로 획을 그려 음수를 표현했습니다.

인도에서는  7세기경 브라마굽타가 0과 더불어 재산을 양수, 빚을 음수로 놓고, 그 크기를 비교하거나 계산규칙에 대해 설명했습니다. 인도 수학자 바스카라는 50과 -5를 해로 갖는 문제를 거론하면서 사람들이 음수를 인정하지 않을테니 두번째 해인 -5는 받아들일 수 없다라고 했습니다. 풀이과정에서는 음수를 사용하면서도 정답으로는 받아들이지 않았던 것입니다. 

 서양에서는 16세기에 이르러 방정식의 일반해를 연구하는 과정에서 음수를 도입하지 않을 수가 없었습니다. 1545년에 카르다노가 최초로 음수를 방정식의 근으로 언급했는데, 이때 그는 음수 근을 가짜 수라고 부르며 불가능한 해라고 했습니다.  이차방정식에 등장하는 음근은 없는 것보다 작은 수라든지, 0에서 0이상의 진실한 수(양수)를 뺄 때 일어나는 부조리 수 등으로 취급되었습니다. 드디어 음수가 수로 인정을 받기 시작한 것은 17세기 데카르트 이후입니다. 하지만 여전히 수학자들은 음수에 대해 많을 혼란을 겪었으며 심지어는 음수를 사용하는 것에 저항하기도 했습니다. 프랑스의 수학자 아르노도 2-3과 같이 작은 수에서 큰 수를 빼는 것이 어떻게 가능한가?라는 말을 하기도 했습니다. 

 음수를 수로 널리 받아들이게 된 것은 그로부터 오랜 시간이 지난 19세기에 이르러서입니다. 피코크와 한켈은 음수가 구체적이고 실제적인 양을  나타내야 한다는 관점을 버리고 음수의 구조가 수학적으로 모순이 없다는 것을 보였는데, 이때부터 음수는 당당히 수로 인정받았습니다.

 

-중요사항

1) 음의 정수, 음의 유리수, 음의 실수를 통틀어 음수라고 합니다.

    음의 정수는 정수 중에서 음수인 수를 말하고, 음의 유리수는 유리수 중에서 음수인 수를 말하며, 음의 실수는 실수 중에서 음수인 수를 말합니다. 

2) 수직선에서 음수의 위치는 0의 왼쪽입니다. 

3) 음수를 나타내는 부호는 -(마이너스)인데, 이 부호는 생략할 수 없습니다. 

4) 음수끼리 더하면 음수,  음수끼리의 뺄셈은 두 수의 절댓값에 따라 결과과 달라집니다. 음수끼리의 곱셈은 양수, 음수끼리의 나눗셈은 양수가 됩니다.