수학 용어 정리_수와 식 관련6

1. 상수항(常數項, constant term)

- 정의

 수로만 이루어진 항

 

- 중요사항

 항 중에서 문자가 곱해진 경우에는 그 문자의 값이 얼마인지에 따라 식의 값이 바뀌는데 상수항에는 문자가 곱해져 있지 않기 때문에 그 값이 항상 일정합니다.

 다항식에서 수로만 이루어진 항은 상수항입니다.

 다항식의 계산에서 문자와 차수가 같은 항끼리 동류항이듯이 상수항끼리는 서로 동류항입니다.

 

 

2. 서로소 (relatively prime)

- 정의

 공통인  약수가 1뿐인 두 자연수

 

- 수학사 (서로소의 역사)

 고대 그리스의 유클리드의 원론 제7권에 나와 있는 서로소의 정의는 다음과 같습니다.  

 '어떤 수들을 공통으로 잴 수 있는 것이 1뿐일 때, 그 수들은 서로 남남이다. [정의 12]'

 18세기 수학자 오일러의 별명은 애꾸눈 수학자인데, 러시아에 가서 지도를 만드는 데 너무 몰두하다 시력을 잃어서 이런 별명을 얻었습니다.  그의 이름을 딴 오일러 함수는 서로소 개념과 관련이 있습니다. 이 함수는 어떤 자연수 n을 n보다 작거나 같은 자연수 중에서 n과 서로소인 수의 개수와 대응시키는 함수입니다.  예를 들어, 12보다 작은 수 중에서 12와 서로소인 수는 1, 5, 7, 11로 모두 4개입니다.  따라서 ∮(12)=4입니다.  만약 n이 소수 p라면   p와 서로소인 수는 p-1개이므로 ∮(p)=p-1입니다. 예를 들어 11은 소수이므로 11보다 작은 수 중에서 11과 서로소인 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10으로 10개입니다. 따라서 ∮ (11)=10입니다.

한편, 오일러 함수는 암호를 만드는 데 사용됩니다.  1977년에 리베스트, 샤미르, 에이들먼 이 세 사람은 오일러 함수를 이용해 컴퓨터로 전송하는 정보의 보안에 활용되는 암호체계를 만들었습니다.  이를 이 세 사람의 성의 첫 글자를 따서 RSA 암호체계라고 부릅니다.  

 

- 중요사항

 서로소라는 용어는 식에서도 쓰입니다. 

두 다항식 f(x)와 g(x)에 대하여 상수 이외에 공통 인수가 없을 때 두 식 f(x)와 g(x)는 서로소이다라고 합니다. 

1과 자연수는 항상 서로소입니다.

서로 다른 두 소수는  항상 서로소입니다. 

 

 

3. 소거 (掃去, elimination) 

- 정의

 미지수를 없애는 것

 

- 수학사 (소거의 역사)

 소거가 처음 등장한 것은 9세기 아라비아의 수학자 알콰리즈미가 쓴 복원과 축소의 과학이라는 책에서입니다. 여기서 al-muqabala(알 무카발라)라는 용어는 방정식의 양변에서  동일한 값을 뺀다는 것을 소거를 뜻합니다. 

 

- 중요사항

소거를 하는 방법에는 가감법과 대입법이 있습니다. 

(1)가감법 : 식과 식을 더하거나 빼서 미지수를 소거하는 방법

(2)대입법 : 문자에다 식이나 수를 대입하여 미지수를 소거하는 방법

 

 

 

4. 소수(素數, prime number)

- 정의

1과 그 자신만을 약수로 가지는 자연수

 

- 수학사

소수는 고대 그리스 때부터 오랫동안 연구 대상이었습니다.  수학자들이 소수를 연구한 것은 실용성 때문이 아니라 수의 구조를 파악하기 위함이었습니다. 소수에 대한 이론을 최초로 정리한 사람은 기원전 3세기에 활동한 그리스 수학자 유클리드입니다. 그의 원론 제 7권에는 다음과 같은 소수의 정의가 나옵니다.

'소수란 1로써만 잴 수 있는 수를 말한다.(정의 11)'

또한 여기에 고대 그리스인들이 1을 수라고 생각하지 않고, 1을 수를 만드는 단위로만 여겼다는 것을 알 수 있습니다.

'단위란 이것을 가지고 다른 것들을 만드는 것이며 이것을 1이라고 부른다.(정의 1)'

'수란 단위(1)를 가지고 만든 것을 말한다.(정의2)'

유클리드는 모든 수는 소수들의 곱으로 나타낼 수 있다라고 했고, 원론 제 9권 명제 20에서 소수의 개수는 무한하다를 증명했습니다. 유클리드 증명의 핵심은 모든 소수의 곱에 1을 더한 새로운 수가 있다면 그 수는 합성수가 아닌 새로운 소수이며 이런 식으로 계속해서 새로운 소수를 만들 수 있기 때문에 소수의 개수는 무한하다는 것입니다.

소수에 대한 연구는 지금도 계속되고 있고 많은 수학자는 지금까지 알려지지 않은 큰 소수를 만드는 일과 소수를 판정하는 방법, 소인수분해하는 방법을 연구 중입니다.  현재까지 연구 대상인 특별한 소수는 다음과 같습니다.

 

1) 쌍둥이 소수

차이가 2가 나는 소수의 쌍을 말합니다. 쌍둥이 소수라는 이름은 고대 그리스의 피타고라스학파가 붙였습니다. 예를 들어 (3, 5), (5, 7), (11, 13)은 쌍둥이 소수입니다.

 

2) 페르마 소수

음이 아닌 정수 n에 대하여 $2^{2^n}+1$의 꼴로 만들 수 있는 소수를 말합니다. 페르마 소수라는 이름이 붙은 이유는 이런 수는 반드시 소수라는 것을 예상한 사람이 프랑스 수학자 페르마(Fermat, 1601~1665)였기 때문입니다. 지금까지 밝혀진 페르마 소수는 n=0, 1, 2, 3, 4 일 때, 5개뿐이며, 6번째 페르마 소수는 아직 밝혀지지 않았습니다.

 

3) 메르센 소수

$2^{n}-1 (n은 자연수)$ 의 꼴로 만들 수 있는 소수를 말하며, 프랑스의 수도사 메르센(Mersenne, 1588~1648)이 발견했습니다.  예를 들어 $2^{3}-1=7, 2^{5}-1=31$은 메르센 소수입니다.

한편 4 이상의 짝수는 두 소수의 합이다라는 것을 골드바흐의 추측이라 하는데, 아직까지 엄밀하게 증명되지 않아 추측이라고 부릅니다.

 

- 중요사항 

1) 소수는 1과 자기 자신의 곱으로 이루어져 있고, 약수는 항상 2개입니다.

2) 소수는 합성수, 1과 더불어 자연수를 구성합니다. 

3) 1부터 n까지의 소수 찾는 법

 소수에는 일정한 패턴이 없어서  그다음 소수가 언제 나올지 예측하기 어렵습니다. 하지만 다음과 같은 과정으로 이미 지원진 수는 제외하고 $sqrt{n}$보다 작은 소수까지 계속하면 n보다 작은 소수를 모두 찾을 수 있습니다.

1부터 n까지 모든 수를 나열하여 씁니다.

[1단계] 1은 소수도 합성수도 아니므로 지웁니다.

[2단계] 2는 소수이므로 남기고 2의 배수는 모두 지웁니다.

[3단계] 3은 남기고 3의 배수를 모두 지웁니다.

[4단계] 5는 남기고 5의 배수를 모두 지웁니다.

[5단계] ....

이런 방법으로 소수를 찾는 방법은 고대 그리스의 수학자 에라토스테네스가 고안했습니다. 마치 소수를 체로 걸러낸 것과 같다고 하여 에라토스테네스의 체라고 부릅니다.

 

 

5. 소인수(素因數, prime factor)

- 정의

 어떤 수의 인수 중에서 소수인 것

 

- 중요사항

1은 소수가 아니므로 소인수가 될 수 없습니다.