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수학지식

수학용어정리_수와 식 관련8

by 매쓰매틱스 2023. 11. 29.

1. 양수(陽數, positive number)

 

- 정의

0보다 큰 수

 

- 수학사(양수 부호의 역사)

수학 기호가 그 모양을 확실히 갖추게 된 것은 15세기 인쇄술이 발달하면서부터입니다. 그전까지는 사람의 필체에 따라 기호가 제각각이었는데 인쇄기가 발명되면서 그 모양이 점차 표준화되었기 때문입니다.

오래된 필사본 중에는 5와 7의 합을  '5 et 7'로 나타낸 것이 있습니다. 이때 et는 라틴어로 그리고라는 뜻입니다. et를 빨리 휘갈겨 쓰다 보면 나중에는 + 모양이 되었는데, 이 기호는 독일 수학자 비트만(Widmann, 1462~1498)이 1489년에 쓴 상영용 산술서라는 책에 처음 등장했습니다. 이 책은 양수와 음수 기호가 인쇄된 가장 오래된 책이 되었습니다. 

 

-중요사항

1) 양의 정수, 양의 유리수, 양의 실수를 통틀어 양수라고 합니다. 양의 정수는 정수 중에서 양수인 수를 말하고, 양의 유리수는 유리수 중에서 양수인 수를 말하며, 양의 실수는 실수 중에서 양수인 수를 말합니다.

2) 수직선에서 양수의 위치는 0의 오른쪽입니다.

3) 양수를 나타내는 부호는 +(플러스)인데, 이 부호는 생략해서 나타내기도 합니다. 따로 부호가 없는 수는 양수로 보면 됩니다.

4) 양수의 사칙연산 결과는 다음과 같습니다.

    덧셈 : (양수)+(양수) = (양수)

    뺄셈 : 두 수의 절댓값에 따라 결과가 달라지므로 알 수 없습니다.

    곱셈 : (양수) ×(양수) = (양수)

    나눗셈 : (양수) ÷(양수) = (양수)

 

 

2. 역수(逆數, inverse number)

 

- 정의

어떤 수와 곱해서 1이 되는 수

 

- 수학사(역수의 역사)

 역수를 최초로 사용한 사람들은 고대 바빌로니아인이었습니다. 그들은 1을 의미하는 ▼와 10을 의미하는 ▶의 두 개의 숫자로 수를 조합해서 60진법의 수체계를 사용했습니다. 이러한 60진법의 수체계는 계산을 할 때 수가 커서 매우 복잡했습니다. 이런 문제를 해결하기 위해 곱셈표, 역수표, 제곱수표, 세제곱수의 표, 제곱근과 세제곱근의 표 등 다양한 수표를 미리 만들어놓고 계산할 때 사용했습니다.

나눗셈을 계산할 때 a를 b로 나누는 대신 a에 b의 역수를 곱하는 것입니다. 즉 a÷b를  계산할 때 역수표를 사용했습니다.  역수표에서 b의 역수를 찾아 곧바로 a에 곱하면 계산이 쉽기 때문입니다. 

 

-중요사항

1) 서로 곱해서 1이 되는 수는 분자와 분모가 서로 반대이므로 서로의 역수입니다.

2) 단위분수의 역수는 자연수입니다.

3) 대분수는 가분수로 고친 후 역수를 구합니다. 

4) 소수는 분수로 고친 후 역수를 구합니다.

5) 나눗셈식에서는 나눗셈을 곱셈으로 고치는 과정에서 역수를 사용합니다. 

 

 

 

3. 연립방정식(聯立方程式, simultaneous equation)

 

- 정의

두 개 이상의 방정식을 묶어 놓은 것

 

- 수학사(연립방정식의 역사)

연립방정식의 역사는 매우 오래되었습니다. 고대 이집트의 파피루스에도 연립방정식 문제가 있습니다. 물론 그 당시에는 식이나 기호를 사용하지 않았기 때문에  문장제로 되어있습니다. 

이집트인들은  미지수 중에서 해 하나를 1로 가정한 다음 연립방정식의 해를 푸는 임시가정법을 사용했습니다.  해의 값으로 적당한 추측하고 비례관계에 의해서 그 값을 조정하면서  해를 구하는 이런 방법은 중세까지 이어졌습니다. 

이탈리아 피사의 상인의 아들이었던 피보나치(Fibonacci)가 알콰리즈미의 책을 모델로 1202년에 쓴 산반서에는 다음과 같은 문제가 있습니다. 

'어떤 사람이 자고새와 비둘기와 참새로 이루어진 3종류의 새를 30마리 샀다. 자고새 한 마리는 은화 3개, 비둘기 한 마리는 은화 2개, 참새는 은화 1/2이다. 그는 은화 30개를 지불한다. 각 종류의 새를 몇 마리씩 살 수 있는가?'

이 문제를 연립방정식으로 나타내어 풀어보면  이 방정식의 해는 자고새 3마리, 비둘기 5마리, 참새 22마리임을 알 수 있습니다. 

 

-중요사항

1) 연립된 방정식의 차수에 따라 연립방정식은 분류됩니다.

    연립일차방정식 :  미지수가 2개인 연립일차방정식 , 미지수가 3개인 연립일차방정식

    연립이차방정식 : 미지수가 2개인 연립이차방정식

2) 연립일차방정식의 해는 두 일차방정식의 그래프의 교점입니다. 

3) A=B=C 꼴의 연립방정식은 (A=B, A=C), (A=B, B=C), (A=C, B=C)와 같은 연립방정식으로 만든 다음 그 해를 구합니다. 

4) 일차방정식와  이차방정식이 연립되어 있는 경우는 대입법을 사용하여 해를 구하면 쉽습니다.

 

 

 

 

4. 연립부등식(聯立不等式, simultaneous inequalities)

 

- 정의

두 개 이상의 부등식을 묶어 놓은 것

 

-중요사항

1) 연립된 부등식의 차수에 따라 연립부등식은 분류됩니다.

  연립일차부등식 : 미지수가 2개인 연립입차부등식

  연립이차부등식 : 미지수가 2개인 연립이차부등식

2) 연립방정식의 해를 수직선 위에 나타낼 때는 각 부등식의 해를 그린 다음, 공통된 범위를 표시하면 됩니다.

3)   A<B<C 꼴의 연립부등식을 두 개의 부등식이 연립된 부등식으로 만들 때에는 반드시 이웃하는 부등식끼리 묶어야 합니다. 즉, 연립부등식 (A<B, B<C)로 만들어야 합니다.

 

 

 

5.  연립이차방정식(聯立二次方程式, simultaneous quadratic equations)

 

- 정의

두 개 이상의 방정식을 함께 묶어 한 쌍으로 나타낼 때, 차수가 높은 방정식이 이차인 연립방정식

 

- 수학사(연립이차방정식의 역사)

연립이차방정식에 대한  기록은 그리스 수학자 디오판토스의 산학 13권에 나와 있습니다. 여기에는 다음과 같은 연립이차방정식 문제가 있습니다.

'두 수가 있다. 그 합은 20이고 , 그 제곱의 차는 80이다. 두 수를 구하여라.'

두 수를  $x, y$라고 하면 $(x+y=20, x^{2}-y^{2}=80)$ 이라는 연립이차방정식이 됩니다.  그는 두 수를 $x+20, 10-x$로 놓는 기발한 방법으로  이 연립이차방정식을 풀었습니다. 

 

-중요사항

1) 미지수가 2개인 연립이차방정식에는 ( 일차식=0, 이차식=0), (이차식=0, 이차식=0) 과 같이 두 가지 꼴이 있습니다.

2) 연립이차방정식의 해법은 연립일차방정식에서의 해법과 같습니다.