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수학지식

수학용어정리_수와 식 관련7

by 매쓰매틱스 2023. 11. 21.

1.  소인수분해(素因數分解, factorization in prime factors)

- 정의

 하나의 작연수를 두 개 이상의 소수의 곱으로 나타내는 것

 

- 수학사 (소인수분해의 역사)

 고대 그리스의 유클리드의 원론 제7권에 나와 있는 서로소의 정의는 다음과 같습니다.  

 '소인수분해 개념을 최초로 정리한 수학책은 기원전 3세기의 그리스 수학자 유클리드가 쓴 원론입니다. 고대 이집트 프톨레마이오스 왕의 초청으로 그리스에서 알렉산드리아로 넘어와 도서관장을 맡은 유클리드는 기하학, 광학, 천문학에 관한 여러 권의 책을 썼는데, 그의 책 중에서 원론이 가장 유명합니다. 13개의 파피루스 두루마리에 쓰여진 이 책은 아라비아로 넘어가 아라비아어로 번역되었습니다. 그 후 라틴어로 번역되었고, 독일의 구텐베르크가 1454년에 인쇄술을 발명한 이후에는 성서와 더불어 가장 먼저 인쇄된 책 중의 하나가 되었습니다. 

소인수분해에 대한 내용은 원론 제 7권 명제에 들어있습니다.

'만약 한 소수가 두 수의 곱을 나누어떨어지게 하면 이 소수는 두 소수 중에서 적어도 한 수를 반드시 나누어떨어지게 한다.'

예를 들어 24는 3으로 나누어떨어지는데 24=6×4이고 이중 6이 3으로 나누어떨어집니다.  소인수분해의 임의성은 바로 이 명제와 관련 있습니다.  

널리 알려진 수학책 중에 소인수분해와 관련된 것은 13세기 인도, 아라비아식 계산법을 유럽에 널리 퍼트린 이탈리아 수학자 피보나치의 산반서입니다. 이 책에서 나눗셈을 할 때 소인수분해를 이용하는 내용이 나옵니다. 또한, 19세기 수학자 가우스는 1801년에 정수론 연구에서 소인수분해에 관한 유클리드의 증명을 논리적으로 보완해 엄밀하게 증명했습니다. 가우스의 박사 논문 주제는 '모든 다항식은 일차식과 이차식으로 완전히 인수분해가 된다. 따라서 복소수 범위에서 모든 n차 방적식은 n개의 해를 갖는다.'라는 것인데, 이 또한 인수분해와 관련이 있습니다. 이를 대수학의 기본 정리라고 부릅니다.  

 

- 중요사항

1) 어떤 자연수를 소인수분해하는 과정은 다음과 같습니다.

    주어진 자연수를 나누어떨어지게 하는 소수로 계속 나눈다.  → 소인수분해의 결과를 거듭제곱으로 나타낸다.

2) 제곱수를 소인수분해하면 지수는 항상 짝수입니다.

3) 소인수분해를 이용하여 자연수의 약수를 구할 수 있습니다.

4) 소인수분해를 이용해 자연수의 개수와 약수의 합을 구할 수 있습니다.

   어떤 수를 소인수분해한 결과가 $a^{x}b^{y}c^{z} (a, b, c는 서로 다른 소수)$ 일 때, 

   약수의 개수 : $(x+1)(y+1)(z+1)$

   약수의 합 : $(a^{0}+a^{1}+ ...+a^{x})(b^{0}+b^{1}+....+b^{y})(c^{0}+c^{1}+....+c^{z})$

5) 소인수분해를 이용해 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있습니다.

   최대공약수 : 두 수에 공통으로 들어있는 소인수를 모두 곱합니다.

   최소공배수 :  두 수에 공통으로 들어있는 소인수와 어느 한쪽에만 있는 소인수를 모두 곱합니다.

 

 

2. 수직선 (數直線, number line)

- 정의

 직선 위의 점에 실수를 하나씩 대응시킨 것.

 

- 중요사항

1) 수직선은 직선 위의 점에 일정한 간격으로 눈금을 표시하여 수를 대응한 것입니다. 수직선 위에 정수를 대응하는 과정은 다음과 같습니다.

   [1단계]  직선 위에 기준이 되는 원점 O를 잡고 그 점에 수 0을 대응합니다.

   [2단계] 점 O의 좌우를 일정한 간격으로 나눕니다.

   [3단계] 점 O의 오른쪽에는 양의 정수를, 왼쪽에는 음의 정수를 대응합니다.

2) 수직선에는 정수뿐만 아니라 유리수나 무리수도 대응할 수 있고, 실수도 대응할 수 있습니다.

3) 수직선에서는 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 수가 커집니다.

 

 

3.  순환소수(循環小數, recurring decimals)

- 정의

 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이 되는 무한소수.

 

- 수학사 (순환마디의 역사)

 순환소수의 순환마디 양 끝의 숫자 위에 점을 찍어서 나타내는 방식이 언제부터 사용되었는지는 분명하지 않습니다.  1742년 마시(Marsh, 18세기경)가 순환마디의 첫 숫자와 마지막 숫자 위에 점을 찍어 순환소수를 표기한 것이 처음이라고 하는데 증거가 남아있지 않습니다. 

 순환마디를 나타내는 방법은 아직 세계적으로 통일되지 않았습니다. 우리나라에서는 순환마디의 양쪽 끝에 점을 찍어 순환마디를 표현하지만  순환마디 위에 줄을 그려 표현하는 나라도 있습니다. 

 

- 중요사항

1) 순환소수에서 한없이 되풀이 되는 가장 짧은 마디를 순환마디라고 합니다. 이때 반복되는 마디의 양 끝 숫자 위에다 점을 찍어서 순환마디가 무엇인지를 나타냅니다.

2) 분수 $\frac{m}{n}$을 소수로 나타내기 위해 m÷n을 할 때, 나머지가 0이면 그 분수는 유한소수가 됩니다.  나머지가 0이 아니라면 그 나머지는 n보다 작은 작연수인 1, 2, 3, ....., n-1 중의 하나가 되는데 n번의 나눗셈 과정에서 그 나머지가 반복되어 나타나기 때문에 순환소수가 됩니다.

3) 기약분수로 나타낸 분수의 분보가 소인수로 2나 5만 가지면 그 분수는 유한소수가 되고, 그렇지 않을 경우에는 순환소수가 됩니다. 

4) 모든 순환소수는 분수로 나타낼 수 있습니다. 따라서 순환소수는 유리수에 속합니다. 순환소수를 분수로 나타내는 과정은 다음과 같습니다. 

  [1단계] 순환소수  0.353535.....를 x라 놓습니다. 

                x = 0.35353535.....

 [2단계] 소수부분이 같아지도로고 양변에 10의 거듭제곱을 적당히 곱합니다. 

                100x = 35.35353535......

  [3단계] 두 식의 차를 구합니다. 

                 99x = 35

 [4단계] 순환소수를 분수로 나타냅니다.  

                x = $\frac{35}{99}$ = 0.353535353535......

 

 

 

4. 실근(實根, Real Root)

- 정의

 이차 이상의 방정식의 근 중에서 실수인 근(해)를 지칭하는 말

 

- 중요사항

 계수가 실수인 모든 일차방정식의 근은 실수입니다. 따라서 일차방정식은 항상 실근을 갖습니다.

계수가 실수인 이차방정식의 해 중에는 실수인 것도 있고 허수인 것도 있습니다.

 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0 (a≠0)$ 의 근이 실근일 때는 근의 공식에서 근호 안의 수 (쯕, 판별식 $b^{2}-4ac$)가 0 이상입니다.

 

 

 

 

5. 실수 (實數, real number)

- 정의

유리수와 무리수를 통틀어 일컫는 말

 

- 수학사 (실수의 역사)

 실수는 수직선 위의 연속적인 점으로 나타낼 수 있습니다.  실수를 이렇게 수직선 위의 한 점으로 나타낸 최초의 사람은 17세기 영국 수학자 월리스(Wallis)입니다. 그는 1673년에 복소평면을 고안하기 위해 실수를 수직선 위의 한 점으로 나타냈지만 당시에는 그의 이런 방법이 널리 알려지지 못했습니다.

점과 실수를 본격적으로 서로 대응시키게 된 것은 20세기에 들어선 이후였습니다. 1900년경 독일수학자 힐베르트(Hilbert)는 공간 속의 점을 수로 바꾸었습니다. 그가 이렇게 한 이유는  2차원 공간 속의 점을 한 쌍의 실수에 대응하면 기하학적 개념을 산술적 개념으로 바꿀 수 있기 때문입니다.

  실수로 이루어진 수직선은 존재하지만 실수를 순서대로 나열하는 것은 불가능하다는 것을 증명한 사람은 19세기 독일 수학자 칸토어(Cantor)입니다. 그는 실수 직선에서 0과 1 사이의 모든 실수들을 크기대로 한 줄로 나열하는 것이 불가능함을 증명했는데 일명 대각선법이라고 합니다. 

 

[대각선법]  

 만약 모든 실수를 소수로 나타내어 한 줄로 세울 수 있다고 하자. 이때, 처음 수와는 소수 첫째 자리가 다르고, 두 번째 수와는 소수 둘째 자리가 다르고,..... 이런 식으로 각 자리의 숫자만 살짝 다른 새로운 소수를 만들 수 있다. 그렇다면 새로운 소수는 어느 자리에 들어가야 할까?  이런 식으로 만들어진 새로운 소수는 계속 등장할 수  있다. 따라서 소수를 한 줄로 세울 방법은 없는 것이다.

 

실수가 유리수와 다른 가장 큰 특징은 유리수는 조밀하지만 실수는 연속적이라는 것입니다. 절단이라는 개념을 사용해 실수의 이러한 특징을 밝힌 사람은 독일 수학자 데데킨트(Dddekind)입니다. 즉 실수를 A, B로  절단했을 때, A에는 최대수가 있지만 B에는 최소수가 없거나 A에는 최대수가 없고 B에는 최소수가 없는 경우는 유리수이고 A에 최대수가 없고 B에 최소수가 없는 경우는 무리수입니다.  이런 방식으로 실수를 자르는 것을 데데킨트의 절단이라고 합니다. 

 

- 중요사항

실수는 유리수와 무리수를 모두 포함합니다.

실수는 0을 기준으로 양수와 음수로 나뉩니다.

뺄셈을 이용하여 두 실수의 크기를 비교할 수 있습니다.

실수의 사칙연산은 유리수와 무리수의 사칙연산과 같은 방법으로 합니다.

실수끼리의 사치계산 결과는 항상 실수입니다.

실수를 제곱하면 항상 0보다 크거나 같습니다.

서로 다른 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있습니다.

수직선은 실수에 대응하는 점들로 완전히 채울 수 있습니다. (실수의 연속성)