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수학지식

수학 용어 정리_수와 식 관련4

by 매쓰매틱스 2023. 8. 11.

1. 무한소수(無限小數, infinite decimal)

- 정의

 소수점 아래의 0이 아닌 숫자가 무한히 많은 소수

 

- 수학사

 무한소수의 출현은 고대 그리스로 거슬러 올라갑니다. 피타고라스학파가 발견한 한 변이 1인 정사각형의 대각선의 길이 $\sqrt{2}$는 분수로 나타낼 수 없는 수, 즉 순환하지 않는 무한소수입니다. 이 사실을 알게된 이후 그리스 수학자들은 무리수 $\sqrt{2}$를 수가 아닌 양, 즉 선분의 길이로 취급했습니다. 수는 반드시 분수로 나타낼 수 있어야 한다고 생각했기 때문입니다. 플라톤의 메논을 보면 당시 수학자들이 $\sqrt{2}$를 분수로 나타낼 수 없다는 사실을 얼마나 대단하게 여겼는지 알 수 있습니다. 플라톤은 자신의 학생을 아카데미에 들여보내려는 한 후원자에게 '정사각형의 한 대각선이  그 변과 같은 단위로 잴 수 없다는 것도 모르는 자는 사람이라 불릴 자격도 없다.'라는 편지를 보내 사실상 입합을 거부했다고 합니다. 이처럼 고대 그리스인들은 정사각형의 대각선은 수가 아니라 잴 수 있는 길이로 여겼고, 그 후에도 오랫동안 무리수는 하나의 수로는 받아들여지지 못했습니다. 분수가 아니라면 달리 표현할 방법이 없었기 때문입니다. 

그 후 16세기 스테빈(Stevin)이 1보다 작은 수를 나타내는 방법인 소수의 표현법을 발명하면서 $\sqrt{2}$를 포함한 모든 무한소수를 비로소 소수로 나타낼 수 있게 되었습니다. 

 

- 중요사항

 소수는 유한소수와 무한소수로 나뉩니다. 또한 무한소수는 순환하는 무한소수와 순환하지 않는 무한소수로 나뉩니다. 소수점 아래의 수가 규칙을 가지고 반복되는 소수는 무한소수라는 의미에서 순환소수라하고, 아무 규칙이 없으면서 끝이 없는 무한소수는 순환하지 않는 무한소수라고 합니다. 이때, 순환소수는 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수에 속하고, 순환하지 않는 무한소수는  분수로 나타낼 수 없으므로 무리수에 속합니다. 

 

2. 미지수(未知數, unknown quantity)

- 정의

 값을 모르는 어떤 수

 

- 수학사

 문자를 사용해 미지수를 표현한 최초의 수학자는 헬레니즘 시대에 이집트 알렉산드리아에서 활동한 디오판토스입니다. 디오판토스는 알고 있는 양을 나타낼 때에는 문자를 사용하지 않고, 단지 미지수를 나타낼 때만 문자를 사용했습니다. 또한 미지수를 둘 이상 쓸 수 없어서 지금으로 말하면 미지수 x만 썼을 뿐 y나 z와 같은 미지수 두 개 이상을  쓰지는 못했습니다.  문자를 사용해서  수나 양을 비로소 자유롭게  표현하기 시작한 것은 16세기 프랑스의 비에트(Viete)부터입니다. 비에트는 미지수뿐만 아니라 이미 알고 있는 양, 즉 기지수까지도 여러 가지 문자로 나타냈는데, 미지수는 모음 대문자(A, E, I, O, U, Y)를 사용했고, 기지수는 자음 대문자를 사용했습니다. 현재와 같이  알파벳 소문자를 사용한 미지수 표기법은 1637년 프랑스의 데카르트부터 썼습니다.  데카르트는 비에트의 표기법을 고쳐서 기지수는 알파벳의 처음 글자들 a, b, c, d. ...로, 미지수는 마지막 글자들 x, y, z, ...로 나타냈습니다. 미지수를 나타낼 때는 주로 알파벳 x를 사용합니다. x를 미지수로 사용한 이유에 대해 여러 이야기가  있지만 당시에 금속활자로 책을 조판할 때  x활자가 제일 많이 남았기 때문이라는 설이 가장 설득력이 있습니다.

 

- 중요사항

 아직 알 수 없는 수를 미지수라 하고, 주로 방정식에서 구하고자 하는 수 또는 그것을 나타냅니다.  

 

 

3. 방정식(方程式, equation)

- 정의

 미지수 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식

 

- 수학사

 인류가 방정식 문제를 만들고 해를 구한 것은 고대 이집트와 바빌로니아 시대부터입니다. 기원전 1650년경 만든 것으로 추정하는 이집트의 아메스 파피루스에는 일차방정식과 그 풀이를 비롯해서 총 85개의 수학 문제가 들어있습니다. 고대 바빌로니아 점토판에는 일차, 이차는 물론 삼차와 사차방정식 문제까지 있습니다.  하지만 체계적으로 연구된 것은 아니었고, 문자를 사용하지 않고 문자 대신 길이, 넓이, 부피라는 말을 사용했습니다. 차수에 엄격했던 고대 그리스인과 달리, 고대 바빌로니아인은 길이에다 넓이를 더한다든지 넓이에다 부피를 더하기도 했습니다.  

방정식을 본격적으로 연구한 사람은 250년경 그리스의 디오판토스이며, 지금 우리가 쓰는 방정식이라는 용어는 기원전 1세기에 쓰인 중국의 구장산술의 9개의 장 중에서 방정이라는 장의 제목에서 유래되었습니다. 고대 중국에서는 연립방정식 문제를 풀기 위해 계수를 나타내는 산가지를 나란히 몇 줄 늘어놓고 손으로 하는 조작을 통해 정답을 구했습니다.  이때, 산가지를 늘어놓은 반듯한 사각형 모양을  본 따 방정이라는 말이 나왔고, 미지수를 구하는 식을 방정식이라고 부르게 된 것입니다. 

방정식의 일반화는 인도에서 0이 발견되면서 가능해졌습니다. 인도 수학자 아리아바타(Aryabhata)가 23세 때 쓴 아리아바티야에는 문자를 사용한 수체계와 일차, 이차방정식 등이 들어있습니다.

방정식의 일반적인 해법은 유럽이 아닌 아라비아에서 개발되어 유럽으로 퍼졌는데, 이 과정에는  다음과 같은 역사가 있습니다. 529년 로마의 유스티아누스 황제가 기독교가 아닌 이교도의 학문의 잔재를 없앤다는 명분으로 아테네에 있는 아카데미아를 폐쇄시켰습니다. 그러자 많은 그리스 학자가 시리아와 페르시아로 피난을 갔고 이 지역에 망명 아테네 아카데미가 세워졌습니다. 그 후 압바스 왕조에 이르러 아리바아는 그리스 학문을 연구하며 당시 세계 학문의 중심지가 되었습니다. 특히  압바스 왕조의 알 마문(Al-Mamun)이 그리스와 인도의 문화에 관심을 갖고 수학과 천문학을 장려하기 위해 거대한 도서관 지혜의 집을 만들었습니다. 이 도서관의 관장이었던 알콰리즈미(Alkwarizmi)는 유클리드의 원론을 비롯한 그리스 학자들의 책을 번역하고 인도의 십진법 체계를 연구해 인도에서 발전한 방정식 이론에 관한 책 등 수학책 6권을 썼습니다. 

그 후 이슬람인과 교류하던 이탈리아인에 의해 12세기 초에 인도의 계산법에 대하여라는 알콰리즈미의 책이 라틴어로 번역되었습니다. 라틴어 번역본에는 제목이 없었는데 아랄고리트미가 말하기를~로 시작하다 보니 특별한 순서에 의한 계산 절차를 뜻하는 알고리즘(algorithm)이라는 용어가 만들어지게 되었습니다. 그리고 원래 책 제목에 들어있던 al-gebr는 현대 수학의 한 분야인 대수학을 의미하는 algebra가 되었습니다. 한편, 방정식을 현재와 같이 (수식)=0의 꼴로 나타낸 최초의 수학자는 영국의 수학자 해리엇(Harriot)입니다. 

 

- 중요사항

방정식은 등식에 포함됩니다. 등식은 항등식과 방정식으로 나뉩니다. 방정식의 해를 구할 때는 다음과 같은 등식의 성질을 이용합니다.

①등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다. ②등식의 양변에 같은 수를 빼도 등식은 성립한다. ③ 등식의 양벼넹 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다. ④등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.

 

 

4. 변수(變數, variable)

- 정의

 변하는 양을 나타내는 문자

 

- 수학사

 문자를 사용하여 변수를 나타내기 시작한 것은 고대 그리스의 기하학에서 부터입니다. 그 이전에는 도형에서 특정한 점이나 특정한 도형을 나타낼 때, 이 점, 저 점, 이 삼각형, 저 삼각형과 같이 말로 나타냈었습니다. 그러다 도형을 지칭할 때 좀더 분명하고 효과적으로 하기 위해서 점A, 점B와 같이 문자를 사용하여 형식적인 표현을 하게 되었고, 곧이어 선분과 여러 가지 도형도 문자를 사용하여 나타내게 되었습니다. 한편, 수학에서 사용되는 문자가 항상 변수나 미지수를 뜻하는 것은 아니고 수를 나타낼 때도 있습니다. 예를 들어 허수 단위를 나타내는 $i$나 원주율 $\pi$,  초월수 $e$등의 문자는 변수가 아니라 무한하면서도 순환하지 않는 소수를 나타내기 위한 일종의 기호입니다.

 

- 중요사항

변하는 것을 나타내기 위해서는 그 값이 정해진 수가 아니므로 문자로 나타낼 수 밖에 없습니다. 이때, 문자는 여러 가지로 변하는 수들을 대신하는 역할을 합니다.  $y=500x$라는 식에서 500처럼 변하지 않는 수를 상수, 변수 $x$를 독립변수라 하고, $x$에 따라 그 값이 정해지는 변수 $y$를 종속변수라고 합니다. 

 

 

5.  복소수(複素數, Complex number)

- 정의

 $a+bi$의 꼴로 나타내어지는 수 (단, $a, b$는 실수)

 

- 수학사

복소수가 실제의 수로 받아들여진 것은 복소평면 개념이 도입된 17세기에 이르러서입니다. 기존의 수직선은 실수로만으로 가득 차 있어서 허수가 끼어들 틈이 없었습니다. 그때까지의 수는 직선 위의 한 점이었지만, 허수의 도입으로 이제 수는 평면 위의 한 점이 됩니다. 이런 아이디어를 최초로 생각한 사람은 영국의 수학자 월리스(Wallis)입니다. 월리스는 1673년에 허수를 평면 위에 나타내는 간단한 아이디어를 내면서 우선 실수를 일직선 위의 점으로 나타낸 다음, 이 수직선과 수직인 직선을 그려서 허수를 표시했습니다. 하지만 이 방법은 곧 잊혀졌습니다. 그 후 1797년 덴마크의 항해사 베셀(Wessel)의 수를 사용하여 기하학을 나타내는 방법을 고안하다가 두 축이 서로 수직으로 만나는 좌표평면에 a는 실수축에 b는 허수축에 표시하여 복소수 $a\pm$$b\sqrt{-1}$을 나타냈습니다. 몇 년 후에 가우스에 의해 재발견되었는데, 가우스는 이 평면상의 점을 실수와 허수가 복합적으로 표현된 복소수라고 불렀습니다. 

모든 대수 방정식은 복소수 범위에서 근을 갖습니다. 즉, 복소수 범위 안에서 이차방정식은 2개의 근을, 삼차방정식은 3개의 근을, 사차방정식은 4개의 근을, 그리고 일반적인 n차의 방정식은 반드시 n개의 근을 갖습니다. 이것을 가우스의 대수학의 기본 정리라고 부릅니다. 

복소수를 다루는 기술은 꾸준히 발전하였고 이제 복소수는 자연과학 분야에서 필수불가결한 수가 되었습니다. 물리학과 공학에 널리 쓰이며 컴퓨터 그래픽에도 쓰여서 스타트랙2와 같은 영화의 장면을 만드는 데에도 널리 사용되고 있습니다. 

 

- 중요사항

복소수는 방정식의 해가 항상 존재하기 위하여 수의 범위를 실수 이상으로 확장하는 과정에서 만들어졌습니다.  복소수  $a+bi$에 대하여 a를 실수 부분, b를 허수 부분이라고 합니다. 0을 제외한 모든 복소수는 2개의 제곱근을 갖습니다.  복소수  $a+bi$는 실수와 허수를 모두 포함합니다. 실수끼리는 서로 크기를 비교할 수 있지만, 실수가 아닌 복소수는 크기를 비교할 수 없습니다.  a, b, c, d가 실수이고, a=c, b=d일 때,  $a+bi=c+di$입니다. 복소수에서  허수 부분의 부호만 바꾼 복소수를 켤레복소수라고 합니다. 어떤 복소수와 그 복소수의 켤레복소수의 곱은 항상 실수입니다. 분모와 분자에 똑같이 분모의 켤레복소수를 곱해주면 분모가 실수가 됩니다.  복소수에서는 양수, 음수를 따지지 않습니다.