수학 용어 정리_수와 식 관련 5

1. 부등식(不等式, inequality)

- 정의

  부등호를 사용하여 두 수 또는 두 식의 대소 관계를 나타낸 식

 

- 수학사 (부등호의 역사)

 지금 우리가 사용하는 부등호 <, >가 처음 등장한 때는 17세기입니다. 대표적인 수학자는 16세기경 영국 수학자 오트레드(Oughtred, 1574~1660)입니다.  오트레드는 부등호 기호로 현재와는 다른 형태의 기호를 사용했습니다.  오트레드는 수학을 무료로 가르쳐주었는데, 그의 제자들 중에는 세계적인 수학자가 여럿 나왔다고 합니다. 

부등호가 등장하게 된 것은 수학에서 기호를 사용하려는 노력이 커진 것과 관련이 있습니다.  기호를 사용하는 것이  수학적인 사고를 보다 치밀하고 효과적으로 해준다는 생각이 퍼지면서  15세기 말부터 17세기 초까지의 시기에 많은  기호가 등장했습니다.  이때에는 이미 문자를 사용하는 식이 많이 쓰이고 있었기 때문에 자연스럽게 부등식의 기호가 필요했습니다. 당시에는 오트레드가 사용한 부등호 기호를 여러 수학자가 쓰고 있었는데 기호의 방향에 혼란을 일으켜서 잘못 사용되는 일이 잦았습니다.  그러다가 영국 수학자 해리엇(Harriot)이 1631년 그의 책 해석술의 연습에서 ~보다 크다, ~보다 작다를 기호로 >와 <로 나타냈고, 이 기호가 널리 퍼졌습니다. 

한편 부등호화 등호가 결합된 기호인 ≤, ≥는 1734년 프랑스 과학자 부게르(Bouguer)가 처음 사용했습니다.

 

- 중요사항

 부등식은 최고차항의 차수에 따라 일차부등식, 이차부등식, 삼차부등식, ....등으로 분류할 수 있습니다.

 부등식의 해는 방정식과 달리 범위로 나옵니다. 이때, 부등식이 참이 되게 하는 미지수의 범위를 부등식의 해라고 부릅니다. 

부등식의 해를 구할 때는 다음과 같은 부등식의 성질을 이용합니다.

① 부등호의 양쪽에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.

② 부등호의 양쪽에 같은 양수를 곱하거나 나누어도  부등호의 방향은 바뀌지 않는다.

③ 부등호의 양쪽에 같은 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향은 바뀐다

 

 

2. 분모의 유리화(分母의 有理化, rationalization)

- 정의

 분모에 근호가 있을 때 분모, 분자에 각각 0이 아닌 같은 수를 곱하여 분모를 유리수로 고치는 것.

 

- 수학사 (분모의 유리화 역사, 연분수 역사)

분모의 유리화는 분모에 되도록 무리수를 사용하지 않으려는 것과 관련 있습니다. 고대 이집트와 그리스 수학자들은 무리수를 분수로 나타내기 위해서 연분수를 즐겨 사용했는데, 연분수는 분수의 분자나 분모가 분수 꼴을 하고 있는 것을 말합니다.  예를 들어 무리수 $\sqrt{2}$가 있다고 하면  1 < $\sqrt{2}$ < 2이므로 $\sqrt{2}$는 1보다 큽니다.

따라서 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$\sqrt{2}$ = 1+a (0 < a < 1) , a = $\sqrt{2}$-1

a를 분수로 나타내면 다음과 같습니다.

a = $\sqrt{2}$ - 1 =$\frac{\sqrt{2}-1}{1}$ = $\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}+1}$

그런데 $\sqrt{2}$ =1+a (0 < a < 1) 이므로

$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ = $\frac{1}{(1+a)+1}$ = $\frac{1}{2+a}$

결과적으로 a = $\frac{1}{2+a}$ 입니다.

그리고 분모에 a를 계속 대입하여 연분수법을 사용하면 $\sqrt{2}$를 분수꼴로 나타낼 수 있습니다.

하지만 무리수의 끝을 알 수 없다는 것은 여전합니다.

 

- 중요사항

분모를 유리수로  고치기 위해 어떤 수를 곱했다면 분모와 분자에 모두 곱해야 하는 수의 크기에 변화가 없습니다.

1) 분모가 $\sqrt{a}$ 일 때 : 분모와 분자에 각각 $\sqrt{a}$를 곱해 분모를 유리수로 만듭니다.

2) 분모가 $\sqrt{a}$± $\sqrt{b}$일 때 : 곱셈공식 $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$을 이용하여 분모를 유리수로 만듭니다.

 

 

 

3. 분배법칙(分配法則, distributive law)

- 정의

 세 수 (또는 항) a, b, c에 대해서 a×(b+c) = (a×b)+(a×c) 또는 (a+b)×c = (a×c)+(b×c)가 성립하는 법칙

 

- 수학사 (분배법칙의 역사)

 분배법칙을 나타낼 때 문자를 사용합니다. 그런데 그 문자가 반드시 수를 대신할 필요는 없다는 생각을 한 사람은 19세기 영국 수학자 피코크(Peacock)입니다. 피코크는 1830년에 출간한 대수학에서 x(y+z) = xy + xz라는 식에 들어있는 문자가 반드시 수를 나타내지는 않아도 된다는 획기적인 생각을 발표했습니다. 또한 x + y = y + x도 마찬가지라고 하며, 산술연산과 기호연산을 구분했습니다. 부울(Boole)은 이러한 피코크의 생각에 공감하며 기호논리학이라는 분야를 개척했습니다. 부울에 따르면 x를 여자, y를 남자로 생각하면, x + y 는 여자 또는 남자의 의미를 갖습니다. 

 

- 중요사항

분배법칙은 두 종류의 다른 연산이 쓰인 계산에서 성립하는 법칙입니다. 하나의 연산만 있을 때는 사용하지 않습니다.

분배법칙은 괄호 안의 연산은 덧셈이나 뺄셈이고 괄호 밖의 연산은 곱셈이나 나눗셈일 때 성립합니다. 

1) 덧셈에 대한 곱셉의 분배법칙

 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙이 성립한다는 것은 두 항의 합에 또 다른 항을 곱한 것이 두 항 각각에 항을 곱한 후 더한 것과 그 결과가 같다는 것입니다.  a×(b+c)=(a×b)+(a×c))

2) 수의 계산에서의 분배법칙

 분배법칙을 이용하면 복잡한 계산도 간단하게 할 수 있습니다. 

3) 단항식과 다항식의 곱셈에서의 분배법칙

 분배법칙을 이용하여 전개합니다.

4) 단항식과 다항식의 나눗셈에서의 분배법칙

 나눗셈의 역수를 이용하여 곱셈으로 바꾼 다음, 분배법칙을 이용합니다.

 

 

4. 사차방정식(四次方程式, equation of the fourth degree)

- 정의

  (x에 대한 사차식)=0의 꼴로 나타낼 수 있는 방정식

 

- 수학사 (사차방정식의 역사)

기원전 2000년경 고대 바빌로니아에서 사차방정식이 논의되기도 했습니다.  하지만 몇 가지 특수한 경우에 한한 것이었습니다.  

사차방정식에 대한 일반적인 해법이 논의된 것은 16세기경입니다. 사차방정식의 해법을 발견한 사람은 카르다노(Cardano)의 제자인 페라리(Ferrari)입니다. 페라리는 스승인 카르다노의 삼차방식의 해법과 유사한 방식으로 사차방정식의 해법을 발견했습니다. 카르다노는 1545년에 낸 위대한 술법에 자신이 구한 삼차방정식의 해법과 더불어 사차방정식의 해법도 실었습니다. 스승은 양의 해만 구했지만 제자는 음의 해도 구했습니다.

 

- 중요사항

사차방정식은 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때 (x에 대한 사차식)=0, 즉 $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ (a≠0) 꼴로 나타낼 수 있는 방정식을 말합니다.

사차방정식의 해를 구할 때 인수분해를 이용할 수 있습니다. 

복소수 범위에서 이차방정식이 항상 2개의 근을 가지는 것처럼 계수가 실수인 사차방정식은 복소수 범위에서 항상 4개의 근을 갖습니다. (단, 중근은 2개로 합니다.)

 

5. 삼차방정식(三次方程式, equation of th third degree or cubic equation)

- 정의

(x에 대한 삼차식)=0의 꼴로 나타낼 수 있는 방정식

 

- 수학사 (삼차방정식의 역사)

삼차방정식에 대해 다룬 최초의 기록은 기원전 2000년경 고대 바빌로니아에서 발견되었습니다. 하지만 모든 삼차방정식의 해를 구할 수 있는 것은 아니었고, $x^{3}+x^{2}=c$인 꼴의 해만 구할 수 있었습니다.  고대 이집트의 경우 삼차방정식 문제를 풀었다는 기록이 없고, 고대 그리스의 경우 3대 작도 불능 문제가 삼차방정식의  해를 구하는 것과 관련 있습니다.  3대 작도 불능 문제는 임의의 각을 3등분하기, 어떤 정육면체의 부피의 2배가 되는 정육면체 작도하기, 원과 넓이가 같은 정사각형 작도하기입니다.

고대 그리스 수학자 히포크라테스는 정육면체의 배적문제(어떤 정육면체의 2배의 부피를 갖는 정육면체를 만드는 문제)를  a:x= x:y=y:2a에서 x, y를 구하는 문제로 변형했습니다.  이 문제는 결국  삼차방정식 $x^{3}=2a^{3}$의 해를 구할 수 있어야 해결 가능합니다.

페르시아의 천문학자 오마르 하이얌(Omar Khayyam)이 1075년경 쓴  대수와 비례의 문제에 관한 증명에는 14가지로 구분한 $x^{3}+cx=d$꼴의 삼차방정식을 원뿔을 이용하여 푸는 방법을 소개하고 있습니다.  오마르 하이얌 이후 아라비아 수학은 쇠퇴기에 접어들었고 삼차방정식의 해법에 대한 연구에는 큰 진전이 없었습니다. 점차 근의 공식이 아예 존재하지 않는 것 아닐까?라는 생각이 퍼졌습니다. 그러다 16세기 들어서면서 이탈리아의 수학자 페로(Ferro)가 3차식에 일차식의 몇 배를 더하여 어떤 수가 되는 경우에 대한  공식을 알아내어 자신의 제자인 피오르(Fior)에게 알려주었습니다.

같은 시기 이탈리아 수학자 타르탈리아(Tartagllia)는  세제곱에다 제곱의 몇 배를 더하여 어떤 수가 되는 경우의 해법을 스스로 알아냈습니다.  당시에는 수학자들이 공개적인 장소에서 각자 상대에게 문제를 내서 문제를 가장 많이 푼 사람이 승자가 되는 시합이 유행했습니다. 여기에는 큰 돈이 걸렸으며 승자는 자신의 이름을 알려 귀족의자제를 제자로 삼을 수도 있었기에 이런 시합은 매우 진지하게 열렸습니다. 삼차방정식 문제 풀기 대회도 열렸고, 이 시합에서 타르탈리아는 상대가 풀 수 없는 유형의 문제만 골라내어서 피오르를 이겼습니다. 이 소싯을 들은 카르다노는 타르탈리아에게 이 방정식의 해법을 얻어내어 1545년에 자신의 책 위대한 술법에 그 해법을 실었습니다. 

 

- 중요사항

삼차방정식은 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때 (x에 대한 삼차식)=0, 즉 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ (a≠0) 꼴로 나타낼 수 있는 방정식을 말합니다.

이차방정식의 근을 구하는 일반 해법인 근의 공식이 있는 것과 마찬가지로 삼차방정식의 근을 구하는 근의 공식이 있습니다.

복소수 범위에서 이차방정식의 근이 항상 2개의 근을 가지는 것처럼 계수가 실수인 삼차방정식은 복소수 범위에서 항상 3개의 근을 갖습니다. (단, 중근은 2개로 합니다.)