수학 용어 정리_수와 식 관련 3

1. 대입(代入, substitution)

-정의

 문자 대신 그 자리에 수나 식을 넣는 것

 

-수학사

연립일차방정식의 해를 구하기 위한 방법으로 수학자들이 대입법을 언제부터 사용했는지는 정확히 알 수 없습니다.  다만, 산학계몽을 쓴 중국의 주세걸(1249~1314)이 방정식 문제 해결에 대입법을 사용했다는 기록이 있씁니다. 

 

-중요사항

대입법으로 연립일차방정식의 해를 구하는 방법은 다음과 같습니다.

연립일차방정식 중 하나를 선택합니다. → 이 일차방정식을  x=(y에 대한 식) 또는 y=(x에 대한 식)으로 만듭니다. → 이 일차방정식을 나머지 일차방정식에 대입합니다. 그러면 미지수가 1개인 일차방정식이 남습니다. → 이 일차방정식의 해를 구합니다. → 나머지 미지수의 해를 구합니다.

 

2. 동류항(同類項, similar terms)

-정의

 문자 대신 그 자리에 수나 식을 넣는 것

 

-중요사항

문자와 차수가 모두 똑같아야 동류항이 됩니다. 

동류항끼리는 덧셈과 뺄셈을 할 수 있으며, 이때 분배법칙을 사용합니다.

동류항의 덧셈과 뺄셈을 사용하여 식을 간단히 만들 수 있습니다.

상수항끼리는 동류항입니다. 

3. 등식(等式, equality)

-정의

 등호(=)를 사용하여 나타낸 식

 

-수학사

등식에 사용되는 등호(=)를 만든 사람은 16세기 영국의 수학자 레코드(Record)입니다.  레코드는 옥스퍼드와 케임브리지에서 수학을 공부했습니다. 1545년에 의학 학위를 받아 헨리 8세의 딸인 메리 1세와 그녀의 이복동생 에드워드 6세를 진료하기도 했습니다. 레코드는 알려지지 않은 이유로 감옥에서 죽었는데, 죽기 1년 전에 쓴 지혜의 숫돌이라는 책에서 등호를 처음 사용했습니다. 숫돌은 라틴어로 cos라고 하는데 이것은 당시에 사용하던 미지수를 뜻하는 coss를 연상하게 하는 용어입니다. 레코드는 이 책에서 자신이 등호를 만든 이유를 다음과 같이 말했습니다.

'나는 같다라는 말을 계속 반복하지 않기 위해 서로 길이가 같은 평행선을 사용할 것이다. 왜냐하면 어떤 두 가지도 평행선처럼 똑같지는 않을 것이기 때문이다'

당시에 모든 사람들이 등호를 =로 사용한 것은 아니었습니다. 비에트(Viete)는 등호를 나타내는 기호로 ~를,  데카르트는 ∝를 썼습니다.

 

-중요사항

등호를 사용하느냐 부등호를 사용하느냐에 따라 식을 등식과 부등식으로 나눌 수 있습니다.

등식에는 항등식과 방정식이 있습니다. 등호의 양변이 항상 같을 때, 항등식이라 하고, 미지수에 따라 참, 거짓이 달라질 때, 방정식이라고 합니다. 

등식에는 다음과 같은 성질이 있습니다. 이러한 성질은 방정식을 풀 때, 유용하게 이용됩니다.

1) 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립합니다.

2) 등식의 양변에 같은 수를 빼도 등식은 성립합니다.

3) 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립합니다.

4) 등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립합니다. 

 

4. 무리수(無理數, irrational number)

-정의

 분수 꼴로 나타낼 수 없는 수

 

-수학사

역사적으로 무리수는  서양에서의 기하학, 특히 작도의 발달을 이끌었습니다.

고대 그리스 시대에 발견된 최초의 무리수 $\sqrt{2}$는 한 변이 1인 정사각형의 대각선의 길이입니다. 고대 바빌로니아인은 계산을 통해 이 수의 근삿값을 구하는 데 열중한 결과 그 길이가 약 1.4142129가 된다는 것을 알아낼 수 있었습니다. 실제로 기원전 1600년경의 것으로 보이는 예일대학 소장판 YBC 7289에는 $\sqrt{2}$가 1.4142155로 계산되어 있습니다. 하지만 고대 그리스의 피타고라스학파는 이 $\sqrt{2}$를 바빌로니아와 같은 근삿값이 아니라 정확한 수(예를 들면 분수)로 나타내고 싶어했습니다. 그러나 결코 그렇게 할 수 없다는 것을 깨달았습니다. 이 수는 아무리 노력해도 자연수의 비로 나타낼 수가 없었기 때문입니다. 이 세상에 두 자연수의 비로 나타낼 수 없는 수가 존재한다는 것은 피타고라스학파가 그때까지 믿고 주장했던 '만물은 수이다'에 어긋나며 학파의 존재 자체가 흔들리는 치명적인 문제였습니다. 그들은 할 수 없이 '어떤 길이는 수로 만들 수 없다.'라고 결론 내렸습니다.  즉, $\sqrt{2}$와 같이 분수로 나타낼 수 없는 길이를 '알로곤(not a ratio)'이라고 불렀는데, 알로곤에는 말할 수 없음이라는 뜻도 있습니다. 피타고라스학파는 이를 철저히 비밀에 붙였는데, 침묵의 서약을 어기고 이를 폭로한 히파수스(Hippasus)를 바닷물에 빠뜨렸다고 합니다. 

한편 $\sqrt{2}$ 외에 $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{10}$, $\sqrt{11}$, $\sqrt{12}$, $\sqrt{13}$, $\sqrt{14}$, $\sqrt{15}$, $\sqrt{17}$도 무리수임을 밝힌 수학자는 고대 그리스의 테오도로스(Theodorus)입니다.  $\sqrt{2}$를 분수로 나타낼 수 없다는 것을 논리적으로 증명한 사람은 고대 그리스의 수학자이자 논리학자인 아리스토텔레스입니다. 

그 후로도 오랫동안 수학자들은 개념을 정확히 파악하지 못한 채 계속해서 무리수를 사용했습니다. 그러다가 무리수에 대한 이론적 기반이 탄탄해진 것은 19세기 독일 수학자 칸토어(Cantor)와 데데킨트(Dedekind)에 이르러서였습니다. 무리수를 처음 발견한 때부터 이론 정리에 이르기까지 걸린 시간이 장장 2000년 이상이었던 것입니다.

 

-중요사항

무리수는 실수에 포함됩니다. 실수 중에서 분수꼴로 나타낼수 없는 수가 무리수이고, 분수 꼴로 나타낼 수 있는 수가 유리수입니다. 유리수를 제곱하면 유리수가 나오지만 제곱해서 유리수가 되는 수를 구하면 그 수가 유리수가 아닌 경우가 생깁니다. 

유리수는 분수로 나타낼 수 있고 소수로 나타낼 수도 있지만, 무리수는 분수로 나타낼 수 없습니다. 따라서 무리수의 표현 방법은 소수 한 가지뿐입니다. 무리수를 소수로 나타낼 때에도 유한소수로는 나타낼 수 없고, 순환하지 않는 무한소수로만 나타낼 수 있습니다. 

무리수를 소수로 나타낼 때, 정수 부분과 소수 부분으로 나눌 수 있습니다. 따라서 무리수의 소수부분은 그 수에서 정수 부분을 뺀 것과 같습니다. 

무한소수라고 해서 모두 무리수인 것은 아닙니다.