수학 용어 정리 _ 수와 식 관련2

1. 근의 공식 (quadratic formula)

- 정의

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ (a≠0)의 근을 구하는 공식. 이차방정식의 근을 구하기 위해 완전제곱식을 이용하여 공식으로 만든 것을 근의 공식이라고 합니다.

 

- 수학사

이차방정식은 고대 이집트나 바빌로니아 문명에서도 다루어졌지만 근을 구할 때 지금과 같이 일정한 공식을 사용했던 것은 아닙니다. 고대 바빌로니아인은 문제에 대한 풀이 과정을 식이 아니라 말로 썼습니다. 그러나  해를 구하는 과정을 말로 쓰면 지금의 근의 공식과 같습니다.

이차방정식을 풀기 위해 근의 공식을 사용하기 시작한 것은  인도 수학자들이었습니다. 628년 브라마굽타는 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ (a, b, c는 정수)의 일반적인 해법을 최초로 소개했습니다.  브라마굽타는 $ax^2+bx=-c$의 해를  $x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$로 나타냈는데 이로써 판별식 $D=b^2-4ac$와 방정식의 근의  관계를 설명할 수 있게 되었습니다. 하지만 브라마굽타도 이차방정식의 해를  음수의 해까지 확장하지는 못했습니다. 현재 우리가 사용하는 근의 공식은 9세기경 인도 수학자들이 사용한 근의 공식과 같습니다.  다만 당시에는 음수의 제곱근(허근)을 인정하지 않았습니다. 

삼차방정식과 사차방정식의 근의 공식도 16세기에 이르러 해결되었습니다. 이탈리아의 타르탈리아(Tartaglia)와 카르다노(Cardano)가 삼차방정식의 일반적인 해법을 찾았고, 카르다노의 제자 페라리(Ferrari)가 곧바로 사차방정식의 일반적인 해법을 찾아냈습니다. 그 이후 오일러와 라그랑주, 가우스 등 많은 수학자가 오차방정식의 일반적인 해법을 찾으려 노력했으나 실패를 거듭했습니다. 이탈리아의 의사였던 루피니가 계수의 사칙연산과 근호만으로는 오차방정식의 해를 찾을 수 없다고 주장했지만 증명이 복작했고 오류도 있었습니다. 약 300년 동안 그 해법이 발견되지 않다가 노르웨이의 수학자인 아벨(Abel)이 1826년에 5차 이상의 방정식은 일반적으로 대수적으로 풀 수 없다라는 정리를 증명했습니다. 

 

- 중요사항

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ (a≠0)의 근의 공식에서 근호 안의 값인 $b^2-4ac$로부터 이차방정식의 근의 개수를 판별할 수 있습니다.  $b^2-4ac$>0이면, 이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖습니다. $b^2-4ac=0$이면, 이 이차방정식은  중근을 갖습니다. $b^2-4ac$<0이면, 이 이차방정식은 실근을 갖지 않습니다. 

 

 

2. 다항식(多項式, polynomial)

- 정의

한 개 이상의 단항식의 합으로 이루어진 식.

 

- 수학사

다항식이라는 용어는 16세기 프랑스의 수학자 비에트(Viete)가 처음 사용했습니다. 다항식은 덧셈, 곱셈과 같은 기본적인 규칙을 만족하는 대수적 체계를 따르는데 이때, 대수란 수 대신 문자를 사용하여 합, 곱, 거듭제곱을 조작하는 것을 말합니다. 대수는 계산 방법과 방정식의 표현 방법에 따라 언어적 대수, 생략적 대수, 기호적 대수 순서로 발달했습니다.  언어적 대수 단계는 기호를 사용하지 않으며 미지수나 계산의 전체적인 과정을 말로 설명하는 단계를 말하며 고대 이집트나 바빌로니아 수학이 이에 해당합니다. 생략적 대수 단계는  풀이 방법을 말로 설명하기는 하지만 자주 사용되는 개념이나 계산을 축약적 기호로 나타내는 단계를 말하고, 가장 대표적인 예는 디오판토스가 거듭제곱을 나타낼 때 알파벳을 이용한 기호를 사용한 것입니다. 기호적 대수의 단계는 현재처럼 식이나 연산을 말이 아닌 수학적 기호로 나타내는 단계를 말합니다. 기호적 대수를 발달시켜 수학적인 문제를 일반적이고 형식적인 방법으로 다룰 수 있게 한 사람은 데카르트입니다.

 

- 중요사항

다항식은 항의 개수에 따라 항이 1개인 다항식, 항이 2개인 다항식, 항이 3개인 다항식, ...으로 분류할 수 있습니다. 다항식에서 그 다항식을 이루는 여러 항 중에서 차수가 가장 큰 항의 차수를 그 다항식의 차수라고 합니다.  다항식은 최고차항의 차수에 따라 일차식, 이차식, 삼차식, ...이라고 부릅니다. 다항식끼리 사칙연산을 할 수 있습니다.

다항식의 덧셈과 뺄셈 : (다항식)+(다항식), (다항식)-(다항식) : 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 계산

다항식의 곱셈 :(다항식)×(다항식), (다항식)×(단항식) : 분배법칙을 이용하여 전개하여 수는 수끼리 문자는 문자끼리 계산

다항식의 나눗셈 : (다항식)÷(단항식) : 역수를 사용하여 곱셈으로 바꾼 다음 분배법칙을 이용하여 전개

 

 

3. 단항식(單項式, monomial)

- 정의

다항식 중에서 한 개의 항으로 이루어진 식

 

-중요사항

단항식끼리 사칙연산을 할 수 있습니다.  단항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항끼리 묶어서 계산합니다. 단항식의 곱셈은 수는 수끼리 문자는 문자끼리 계산합니다. 단항식의 나눗셈은 역수를 사용하여 곱셈으로 고쳐서 계산합니다. 

(단항식)+(단항식) :  계수끼리 더한 다음 문자 앞에 씁니다.

(단항식)-(단항식) : 계수끼리 뺀 다음 문자 앞에 씁니다.

(단항식)×(수) : 단항식의 계수와 수를 곱한 다음 문자 앞에 씁니다.

(단항식)÷(수) : 나누는 수의 역수를 단항식의 계수와 곱한 다음 문자 앞에 씁니다.

(단항식)×(단항식) : 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱합니다.

(단항식)÷(단항식) : 나눗셈을 곱셈으로 바꾼 다음, 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱합니다.