수학 용어 정리_기하학 관련3

1. 두 점 사이의 거리(distance)

정의

서로 다른 두 점을 연결한 선분의 길이

수학사

우리가 사는 지구는 곡면입니다. 배가 수평면 너머로 사라질 때 선체가 먼저 사라지고 돛대가 나중에 사라지는 것을 관찰하며 탈레스를 비롯한 고대인들은 지구가 구형이라는 것을 알았습니다. 하지만 유클리드의 원론에 들어있는 기하학은 평면 위에서 성립하는 평면기하학입니다. 평평한 종이 위에 두 점을 찍고 최단거리로 잇는다면 그냥 직선을 그리면 됩니다. 이렇듯 평면 위에서 두 점 사이의 최단거리는 직선의 일부인 평면이지만 곡면에서는 그렇지 않습니다. 곡면인 지구 위에서의 두 점 사이의 거리는 곡면에서 성립하는 비유클리드 기하학을 따라야 합니다.

중요사항

수직선에서 두 점 사이의 거리는 절댓값을 이용하여 구합니다. 좌표평면에서 두 점 사이의 거리는 피타고라스의 정리를 이용하여 구합니다. 점과 직선사이의 거리를 구할 때는 점과 직선 위의 점을 잇는 선분 중에서 가장 짧은 선분의 길이를 구하면 됩니다.

2. 맞꼭지각(맞꼭지角, vertically opposite angles)

정의

서로 다른 두 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 교각 중에서 서로 마주보는 두 각

수학사

맞꼭지각의 크기가 같다는 것에 대해서는 고대 이집트인도 알고 있었습니다. 그러나 이것이 항상 성립한다는 것을 논리적으로 처음 증명한 사람은 탈레스입니다. 탈레스는 수학에서 정리를 만들고 그 정리를 논리적으로 증명한 최초의 수학자로 알려져 있습니다. 탈레스 이전에는 직접 맞꼭지각을 오려서 서로 붙여서 크기가 같다는 것을 보이는 정도였으나 탈레스는 논리적인 증명에 성공했습니다.

중요사항

마주본다고 모두 맞꼭지각은 아닙니다. 두 직선이 한 점에서 만나서 생긴 교각이라는 조건이 있어야 합니다.

3. (삼각형의) 무게중심(무게重心, center of gravity)

정의

삼각형의 세 중선의 교점

수학사

고대 그리스 수학자 플라톤은 수학이 국가를 운영하는 지도자들이 꼭 배워야 할 학문이라고 했습니다. 실제 지도자들 중에 플라톤과 같은 생각을 한 대표적인 사람은 프랑스대혁명 이후 개혁 정치의 선구자인 나폴레옹(Napoleon, 1769~1821)입니다. 나폴레옹은 삼각형과 그거의 무게중심에 대한 새로운 정리인 나폴레옹 정리(나폴레옹 삼각형)를 증명했습니다. 나폴레옹 정리는 어떤 삼각형이 있을 때 그 삼각형의 세 변을 각각 한 변으로 하는 정삼각형들을 작도하고, 세 정삼각형의 무게중심을 연결하면 이때 만들어지는 삼각형은 항상 정삼각형이라는 내용입니다. 삼각형의 무게중심의 좌표를 처음으로 구한 사람은 뫼비우스의 띠로 유명한 19세기 독일의 수학자 뫼비우스입니다.

중요사항

무게중심은 어떤 도형의 각 부분이 같은 질량이라고 가정할 때, 질량의 중심에 해당하는 점입니다. 평면도형에서 무게중심은 넓이와 관련됩니다. 삼각형에서 무게중심과 세 중선에 의해 나눠지는 6개의 삼각형의 넓이는 모두 똑같습니다. 정삼각형에서 무게중심, 외심, 내심, 수심의 위치는 모두 같습니다.

4. 부채꼴(sector)

정의

한 원에서 두 개의 반지름과 호로 이루어진 부채 모양의 도형

수학사

유클리드의 원론 제3권에는 부채꼴에 대해 다음과 같은 정의가 나옵니다. ‘부채꼴은 원의 중심에서 어떤 각을 만들었을 때 그 각을 만드는 두 직선과 그 직선들에 의해 잘린 원둘레에 둘러싸인 도형을 말한다.(정의10)’ 부채꼴을 지구의 둘레를 측정하는 데 사용한 수학자는 기원전 3세기 고대 그리스의 에라토스테네스(Eratosthenes)입니다.

중요사항

부채꼴 AOB에서 두반지름 선분OA와 선분OB가 이루는 각AOB를 호AB에 대한 중심각 또는 부채꼴의 중심각이라고 합니다. 한 원 또는 합동인 두 원에서 같은 크기의 중심각에 대한 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 같습니다. 한 원 또는 합동인 두 원에서 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 부채꼴의 중심각에 비례합니다. 즉, 중심각이 2배, 3배, 4배, …가 되면 부채꼴의 호의 길이와 부채꼴의 넓이도 2배, 3배, 4배, …가 됩니다. 중심각이 180도인 부채꼴은 부채꼴이면서 동시에 활꼴입니다.

5. 삼각비(三角比, trigonometric ratio)

정의

직각삼각형에서 두 변의 길이의 비

수학사

삼각비는 주로 천문학에서 많이 쓰였기 때문에 수학이라기보다 천문학의 한 부분으로 여겨져 왔습니다. 고대 이집트의 린드 파피루스에는 피라미드 밑면에서의 이면각의 코탄젠트 값과 관련된 문제가 있습니다. 고대 그리스 시대에는 기원전 270년경 사모스 섬 출신의 천문학자이 아리스타코스(Aristarchos)가 삼각법을 적용하여 달의 크기와 지구로부터 달까지의 거리를 계산하기도 했습니다. 기원전 2세기 후반 그리스의 히파르코스(Hipparchus)는 모든 행성들이 구면 위에서 움직인다고 생각하고 행성 사이의 거리를 쉽게 구하고자 중심각 크기마다 현의 길이를 계산하여 표로 만들었습니다. 그 후 프톨레마이오스(Ptolemaeus)는 천문학 집대성에서 0도에서 90도까지 0.25도 간격으로 현의 표를 완성했습니다. 현재 우리가 배우는 것과 같은 삼각비를 정의한 사람은 인도의 수학자들입니다. 인도의 수학자들은 현과 중심각의 대응 관계를 밝힌 프톨레마이오스와 달리 현의 절반과 중심각의 절반 사이의 대응 관계, 즉 반각의 사인값을 계산했습니다. 아리아바타(Aryabhata)의 저서 아리아바티야에는 삼각함수가 들어있는데 여기에서는 90도까지의 각을 24등분해 사인값을 구하고 있습니다. 6세기에 우자인 천문대의 천문학자 바라하미히라(Varahamihijra)의 저서 핀챠 싯단티카에는 초기 인도의 삼각법과 사인표가 들어있습니다. 인도 수학자 브라마굽타(Brahmagupta)는 큰 각의 사인값과 작은 각의 사인값을 이용해 어떤 각의 사인값을 알아내는 방법을 칸다 카디아카라는 책에 썼습니다. 6개의 삼각비를 모두 개발한 사람은 천체를 관측하기 위해 달력과 시계가 필요했던 아라비아인입니다. 최초로 탄젠트 표를 만든 사람은 860년경 아라비아의 수학자 알하시브입니다. 삼각법이 천문학에서 분리된 것은 1533년에 레기오몬타누스(Regiomontanus)가 삼각비와 관련된 모든 공식을 집대성한 모든 종류의 삼각형이라는 책을 발간하면서부터입니다.

중요사항

예각 하나를 공통으로 하는 직각삼각형들이 있을 때, 이 직각삼각형들은 서로 닮음이므로 대응하는 변의 길이의 비는 항상 같습니다. 정사각형을 대각선으로 자르면 한 예각이 45도인 직각이등변삼각형이 만들어지고, 정삼각형을 이등분하면 예각의 크기가 30도, 60도인 직각삼각형이 만들어집니다. 직각삼각형에서 한 예각의 크기가 30도, 45도, 60도인 경우를 특수각이라고 합니다. 삼각법은 삼각형의 변과 각 사이의 관계를 연구하는 분야입니다.