수학 용어 정리_기하학 관련2

1. 내각(內角, internal angle)

정의

다각형에서 이웃하는 두 변으로 이루어진 내부의 각

수학사

삼각형의 내각의 합이 항상 180도라는 사실은 기원전 6세기에 활동한 그리스 수학자 탈레스(Thales, 대략 BC 624~548)도 알고 있었지만 이것을 증명한 것은 피타고라스 학파가 처음이었습니다. 피타고라스 학파는 엇각의 성질을 이용해 증명했습니다. 고대 그리스 수학자 유클리드도 원론에서 ‘모든 삼각형의 내각의 합은 평각이다.’라는 증명이 나옵니다.

중요사항

다각형의 내각의 크기의 합은 삼각형의 내각의 크기의 합을 이용해서 구할 수 있습니다. 다각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 여러 개의 삼각형으로 나눈 다음, 이 삼각형들의 내각의 합을 모두 더하면 다각형 전체의 내각의 합이 됩니다.

2. 내심(內心, incenter)

정의

내접원의 중심

중요사항

삼각형의 내심은 삼각형의 내접원의 중심입니다. 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 모두 같습니다. 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점을 작도하면 내심의 위치를 알 수 있습니다.

3. 내접(內接, inscription)

정의

도형이 다른 도형과 안쪽에서 접하는 것

수학사

내접에 대한 수학적인 정의는 고대 그리스의 유클리드가 쓴 원론 제 4권에 나옵니다. 그 내용은 다음과 같습니다. 한 다각형의 각각의 각들이 원둘레에 놓여져 있으면 그 닥각형은 원에 내접하고 있다.(정의3), 어떤 원의 둘레가 어떤 다각형의 각각의 변들과 접하고 있으면 그 원은 그 다각형에 내접하고 있다(정의5)

중요사항

한 원이 다각형의 모든 변에 접할 때, 이 원을 내접원이라고 하며 내접원의 중심을 내심이라고 합니다. 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180도이며 한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같습니다.

4. 다면체(多面體, polyhedron)

정의

다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형

수학사

정다면체에 대해서는 고대인도 알고 있었지만 다면체를 체계적으로 분류하는 방법은 17세기에 이르러서 만들어졌습니다. 1639년 프랑스 수학자인 데카르트(Descartes, 1596~1650)는 다면체의 면, 모서리, 꼭짓점에 대해 특징을 발견했습니다. 다면체의 꼭짓점의 개수를 v, 모서리의 개수를 e, 면의 개수를 f라고 하면 모든 다면체에 대해서 v-e+f의 값은 항상 2가 된다는 것입니다. 이것을 증명한 수학자는 1752년 스위스 수학자 오일러(Euler, 1707~1783)이며 이것을 오일러의 공식이라고 부릅니다. 오일러의 공식은 어떤 입체도형에 대해 면과 모서리와 꼭짓점의 개수 중 한 가지를 알 수 없을 때 유용하게 쓰입니다.

중요사항

다면체는 면의 개수에 따라 사면체, 오면체, 육면체, …라고 부릅니다. 다면체와 평면이 만나서 생기는 단면의 모양은 다각형입니다. 다면체는 구부리거나 잡아당기고 비틀어서 구와 같은 모양으로 만들 수 있습니다. 입체를 이루는 면이 다각형이 아닌 경우(원기둥, 원뿔, 구)는 다면체가 아닙니다.

5. 닮음(similarity)

정의

한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소했을 때 다른 도형과 합동이 되는 경우

수학사

고대 바빌로니아인은 두 직각삼각형이 닮은 도형일 경우 대응변이 비례하다는 것을 알고 있었습니다. 닮음에 대해 수학적으로 정의한 최초의 수학자는 고대 그리스의 유클리드입니다. 유클리드는 원론 제 6권에서 ‘닮은꼴 다각형이란 두 다각형들의 각들이 서로 크기가 같고 변들의 길이가 비례한다는 것을 말한다.(정의1)’라고 서술했습니다.

중요사항

평면도형에서 대응하는 선분의 길이의 비는 일정하며 대응하는 각의 크기는 서로 같습니다. 입체도형에서 대응하는 선분의 길이의 비는 일정하며 대응하는 면은 서로 닮은 도형입니다. 닮은 두 도형에서 대응하는 선분의 길이의 비를 ‘닮음비’라 합니다. 모든 원과 구는 서로 닮음입니다. 합동도 닮음에 포함되며 서로 합동일 때에는 1:1닮음이라고 합니다.

6. 대각(對角, opposite angle)

정의

다각형에서 한 변이나 한 각과 마주보는 각

중요사항

다각형에서 한 각에 대해 서로 이웃하지 않은 각은 모두 대각이므로 어떤 각의 대각은 여러 개가 될 수 있습니다. 평행사변형의 대각의 크기는 서로 같습니다. 대각선은 대각끼리 서로 연결한 선입니다. 삼각형에서는 대각을 한 변과 마주보는 각이라고 정의합니다.

7. 대변(對邊, correspondence)

정의

다각형에서 한 변이나 한 각과 마주보는 변

중요사항

평행사변형에서 대변의 길이는 서로 같습니다. 삼각형에서는 대변을 한 각과 마주보는 변이라고 정의합니다.

8. 대응(對應, skew position)

정의

서로 짝짓는 것

수학사

고대에는 양이 몇 마리인지 셀 때 조약돌 사이의 대응 관계를 사용했습니다. 그 예로 그리스의 시인 호메로스(Homeros)의 작품인 오디세이에 관련된 이야기가 나옵니다.

중요사항

서로 대응하는 점은 대응점, 대응하는 각은 대응각, 대응하는 변은 대응변이라고 합니다. 두 도형이 합동이면 대응변의 길이와 대응각의 크기가 같고, 두 도형이 닮음이면 대응변의 길이의 비가 같고 대응각의 크기가 같습니다. 대응하는 두 도형 사이의 관계를 나타낼 때에는 서로 대응하는 순서를 맞추어 꼭짓점을 씁니다.

9. 동위각(同位角, corresponding angle)

정의

서로 다른 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 각 중에서 같은 위치에 있는 각

수학사

기원전 3세기 고대 그리스의 수학자 유클리드가 쓴 원론에는 다섯 가지의 공준이 있는데 그 중 제5공준은 다음과 같습니다. ‘한 직선이 두 직선과 만나서 생기는 같은 쪽의 내각의 합이 180도보다 작을 때, 두 직선은 그쪽에서 만난다.’

중요사항

평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만나서 생기는 동위각의 크기는 서로 같으며 동위각의 크기가 서로 같으면 두 직선은 서로 평행합니다. 서로 평행한 두 직선이 다른 직선과 만날 때 생기는 동위각의 크기는 같지만 평행이 아닐 때에는 동위각의 크기가 같지 않습니다.