큰 수에 대한 연구

1. 아르키메데스의 연구

 

가장 큰 수에 대해 생각해 본 적이 있으신가요? 처음으로 아주 큰 수에 대해 체계적으로 연구한 사람은 기원전 287년경 시라쿠사에서 태어난 고대의 위대한 수학자 중의 하나인 아르키메데스입니다. 아르키메데스는 온 세상의 모래알의 개수, 우주 전체를 채우는 데 필요한 모래알의 개수 등을 궁금해 했습니다. 우주 크기의 모래알의 수를 추측해보기 위하여 아르키메데스는 큰 수를 가리키는 명명 체계를 확장했습니다. 그리스인은 10,000을 셀 수 없다는 뜻의 미리오스(murious)라고 불렀으며 로마인은 미리아드(myriad)라고 불렀습니다. 아르키메데스는 100,000,000을 미리아드 미리아드로 부르며 큰 수에 대해 탐구하였습니다. 아르키메데스 미리아드 미리아드 이하의 수에 ‘1차수’라는 이름을 붙였습니다. 1 뒤에 0이 16개 붙은 수인 미리아드 미리아드 곱하기 미리아드 미리아드까지는 ‘2차수’라고 이름 붙였으며 이와 같은 방식으로 3차수, 4차수 등을 이어 나갔습니다.

아르키메데스의 연구에서 각 차수는 앞 차수의 미리아드 미리아드 배였으며 연구 끝에 아르키메데스는 미리아드 미리아드 차 수까지 이르렀습니다. 이런 일련의 과정 끝에 아르키메데스는 8억 자리 수를 나타낼 수 있게 되었습니다. 여기까지의 수는 아르키메데스의 연구에서 ‘첫 번째 주기’에 해당합니다. 아르키메데스는 두 번째 주기의 수의 시작을 10의 8억 제곱 수라고 했습니다. 두 번째 주기의 차수도 첫 번째 주기의 차수처럼 앞선 차수의 미리아드 미리아드 배였으며, 이 연구는 미리아드 미리아드 번째 주기까지 이어졌습니다. 그러나 아르키메데스가 원하던 모래알의 수를 세기 위해 첫 번째 주기의 수를 넘어갈 필요는 없었습니다. 아르키메데스의 연구에 따르면 항성까지 이르는 우주 전체는 태양을 중심으로 지름이 2광년이었고 모래알 하나의 크기를 어림해 계산한 아르키메데스는 모래알 8×$10^{63}$개가 있으며 우주를 거대한 해변으로 만들 수 있다는 결과를 얻었습니다. 첫 번째 주기의 8차 수에 속하는 수였습니다. 현대에는 추정하는 관측 가능한 우주의 지름인 920억 광년으로 계산한다면 모래알은$10^{95}$개가 필요하고, 이 수는 첫 번째 주기의 12차 수에 속합니다.

 

2. 석가모니의 연구

 

3세기경에 산스크리트어로 쓰인 인도의 불교 경전 ‘방광대장엄경’에는 석가모니가 수학자 아르주나(Arjuna)에게 산스크리트어로 10,000,000을 뜻하는 코티(Koti)에서 시작하는 수 체계를 설명하는 내용이 나옵니다. 코티를 시작으로 하여 석가모니는 수의 이름을 길게 늘어놓습니다. 각각은 앞의 수보다 100배 크고, 100구지는 아유타(Ayuta), 100아유타는 나유타(Nayuta)가 되는 방식으로 0이 53개 있는 탈락샤나(Tallakshana)까지 이어집니다. 석가모니는 이것보다 훨씬 큰 수에까지 이름을 붙였습니다. 예를 들면 $10^{99}$을 드흐바지하그라바티(dhvajhagravati)라 불렀고, $10^{421}$을 우타라파라마누라자프라베사(uttaraparamanurajapravesa)라 불렀습니다. 석가모니는 화엄경 30장에서 다시 한 번 수에 대해 설명합니다. $10^{10}$을 시작하여 이것을 제곱하여 $10^{20}$을 얻고, 이것을 다시 제곱하여 $10^{40}$을 얻었으며 같은 방식으로

$10^{80}$, $10^{160}$, $10^{320}$ 등으로 계속 이어나가 $10^{101493392610318652755325638410240}$까지 이르렀습니다. 이것을 제곱하여 나오는 수를 석가모니는 계산할 수 없다고 말했습니다. 석가모니는 이어지는 큰 수의 이름을 불가수(不可數), 불가칭(不可稱), 불가사(不可思), 불가량(不可量), 불가설(不可說), 불가설불가설전(不可說不可說轉) 등으로 지었습니다. 불가설불가설전의 경우 아르키메데스가 자신의 글에서 설명한 가장 큰 수를 66,000,000,000,000,000,000 제곱해야 비슷한 수치가 됩니다.

아르키메데스와 불교 경전은 우주가 얼마나 광대한 지를 느끼게 하기 위하여 큰 수를 사용했습니다.

 

 

3. 여러 수학자들의 연구

 

영어에서 큰 수를 말할 때 ‘-illion’으로 끝나는 방법이 시작된 것은 15세기 프랑스 수학자 니콜라 쉬케(Nicolas Chuquet)로부터입니다. 쉬케는 한 글에서 큰 수를 여섯 자리씩 나눈 뒤 다음과 같이 부르자고 제안했습니다. million 다음인 두 번째는 byllion, 세 번째는 tryllion, 네 번째는 quadrillion, 다섯 번째는 quyillion, 여섯 번째는 sixlion, 일곱 번째는 septyllion, 여덟 번째는 ottyllion, 아홉 번째는 nonyllion과 같이 계속 이어나갈 수 있습니다.

1920년데 미국의 수학자 에드워드 카스너(Edward Kasner)는 조카 밀턴 시로타(Milton Sirotta)에게 1 뒤에 0이 100개 오는 수의 이름을 만들어 보라고 하였고 시로타는 ‘구골(Googol)’이라고 제안했습니다. 또한 시로타는 1 뒤에 0을 피곤할 때까지 써서 나오는 수의 이름으로 ‘구골플렉스(Googoleplex)를 제안했습니다. 카스너의 정의에 의하면 구골플렉스는 $10^{googol}$, 다시 말해서 1 뒤에 0이 구골 개만큼 오는 수입니다. 구골플렉스는 ’불가설불가설전‘ 보다도 큰 수입니다.

1933년 남아프리카공화국의 수학자 스탠리 스큐스(Stanley Skewes)가 소수를 연구하다가 발견한 수인 스큐스 수는 구골플렉스 보다도 큰 수입니다. 수학자 G. H. 하디는 스큐스 수를 수학에서 분명한 목적으로 쓰였던 가장 큰 수라고 표현했습니다. 스큐스 수는 $10^{10^{10^{34}}}$ 로 나타낼 수 있습니다.

 

불가설불가설전, 구골플렉스, 스큐스 수 모두 우리가 이해하기에는 너무 거대한 수입니다. 그럼에도 최근 들어 구골로지(googology)라고 하는 유희수학이 등장했습니다. 구골로지의 목표는 큰 수의 경계를 더욱 확장하여 더 큰 수를 찾아 정의하고 이름붙이는 것입니다. 끝없는 수의 공간으로 더 깊숙이 파고 들어가기 위해 구골로지스트들은 옛 방법을 바탕으로 하거나 새로운 방법을 개발해야 합니다.