소수prime number, 素數

레온하르트 오일러는 말했습니다. 오늘날에 이르기까지 수학자들은 소수의 배열에서 질서를 찾기 위해 노력했지만 허사였다. 이제 우리는 그게 인간의 정신이 영원히 꿰뚫어 보지 못할 수수께끼라고 믿을 만한 이유가 있다.

자, 오늘은 이 소수에 대해 알아보겠습니다.

소수의 뜻

소수(prime number, 素數)는 오직 자기 자신과 1로만 나누어떨어지는 자연수입니다. 소수는 수학에서 가장 해결하기 어려운 난제의 일부와 관련 있고 실용적인 면에서도 매우 중요합니다. 한 예로 은행에서 현금 카드를 사용할 때마다 은행의 컴퓨터는 아주 큰 수로 알려진 두 소수의 곱으로 나타내는 한 가지 경우를 찾는 알고리즘을 이용하여 카드의 주인을 확인하곤 합니다. 금융 보안에서 많은 부분 소수에 의존하고 있는 것입니다.

소수의 신비

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, … 등이 소수입니다. 소수는 예상하기 어렵고 놀라운 방식으로 나타나는 특성이 있습니다. 매미의 한 종류인 17년 매미는 생애주기가 17년인데 이 매미의 모든 개체는 17년 동안 애벌레 상태로 지내다가 모두 동시에 성체가 되어 짝짓기를 합니다. 다른 매미의 한 종류인 13년 매미는 생애주기가 13년입니다. 이 두 종류의 매미의 생애주기가 특정 소수가 되도록 진화한 이유에 대해서 다양한 의견이 있습니다만 대표적 이론은 다음과 같습니다. 정기적으로 몇 년에 한 번씩 등장하는 포식자가 있을 때, 매미와 포식자가 같은 해에 성체가 된다면 매미는 모두 잡아 먹혀버릴 가능성이 매우 커집니다. 매미의 생애주기와 포식자의 생애주기가 최대한 겹치지 않도록 매미는 진화한 것이라는 이론입니다. 예를 들어 설명하면 15년을 생애주기로 하는 매미가 있고, 포식자의 생애주기는 3년이나 5년이라면 포식자가 나타날 때마다 매미는 잡아 먹히게 되는 것입니다. 그러나 매미의 생애주기가 17년일 때, 포식자의 생애주기가 17년보다 작다면 포식자는 16번을 연속으로 매미를 잡아먹는 것에 실패하여 멸종할 가능성이 높아지고 생애주기가 소수인 매미만 살아남게 되는 것입니다.

소수에 대한 연구

소수의 수는 무한하며 가장 큰 소수는 존재하지 않습니다. 2000여 년 전에 유클리드가 이 사실을 귀류법(말이 안 되는 결과가 나온다는 사실을 보여줌으로써 주장을 반증하는 방법)을 통하여 증명하였고, 유클리드 정리로 불립니다.

고대의 수학자들에게는 큰 소수를 쉽게 알아내는 방법이 없었습니다. 고대 그리스에서 127이 소수라는 사실은 알고 있었으며 아마 세 자리 수의 소수나 네 자리 수의 소수에 대해서도 알고 있었을 것으로 생각됩니다. 상당히 큰 소수는 르네상스 시대에 발견되었습니다. 대표적으로 볼로냐의 피에트로 카탈디(Pietro Cataldi)가 소수 524287을 발견했습니다. 새로운 소수를 찾는 노력은 계속되었습니다. 17세기 소수 연구에 집중했던 프랑스의 마렝 메르센(Marin Mersenne)의 이름을 딴 메르센 수(2^n-1 형태의 수, n은 정수)가 대표적입니다. 모든 메르센 수가 소수인 것은 아니지만 메르센 수는 소수일 가능성이 비슷한 크기의 다른 홀수보다 매우 높습니다. 메르센 소수를 몇 개 나열해 보면 3, 7, 31, 127 등입니다. 카탈디가 찾은 큰 소수인 524287은 19번째 메르센 수이며 7번째 메르센 소수입니다. 1732년 스위스의 수학자인 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 그보다 더 큰 소수를 찾을 때까지 무려 한 세기 반이 걸렸습니다. 그 후 한 세기 반이 지난 1876년 에두아르 뤼카(Edouard Lucas)는 약 170조의 1조 배인 127번째 메르센 수도 소수라는 사실을 알아냈습니다. 메르센 수가 실제로 소수인 경우도 있었지만 메르센은 67번째 메르센 수가 소수라는 오해를 하기도 했습니다. 1903년 프랭크 넬슨 콜(Frank Nelson　Cole)이 67번째 메르센 수는 소수가 아니며 그 인수를 발견했습니다.

1951년 이후 컴퓨터에 의존하여 점점 더 큰 소수 탐색은 발전해 왔으며 지금도 그 노력은 계속되고 있습니다.

 

독일의 수학자 크리스티안 골드바흐(Christian Goldbach)의 이름을 딴 골드바흐의 추측은 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것입니다. 작은 수의 경우 이를 확인 하는 것은 매우 쉽고 매우 큰 수에 대해서도 컴퓨터를 통하여 확인해 본 결과 규칙이 틀린 적은 단 한 번도 없으나 모든 경우에 대해 참인지는 아직 밝혀지지 않았습니다. 마찬가지로 3과 5, 11과 13, 29와 31처럼 2 차이가 나는 두 소수를 쌍둥이 소수라고 부르는데, 이런 쌍둥이 소수가 무한히 많다는 것이 쌍둥이 소수 추측이라고 하지만 아직 확실하게 증명되지는 않았습니다.

소수에 대한 여러 의문점 중에서 가장 난해한 것은 소수의 분포에 관한 것입니다. 작은 수중에는 소수가 빈번하게 발견되지만 수가 커질수록 소수의 빈도는 줄어듭니다. 소수는 수로 이루어진 우주에서 원자와 비슷한 존재로 여겨지기도 합니다. 모든 자연수는 소수로 이루어집니다. 다음 소수가 언제 나올지 쉽게 예측할 수도 없습니다.

1963년 폴란드 수학자 스타니스와프 울람은 놀라운 사실을 발견 하였습니다. 네모난 나선 모양으로 숫자를 중심의 1부터 시작하여 사각형 격자를 따라 바깥쪽으로 빙글빙글 돌며 숫자를 쓰면서 소수에 동그라미를 쳐서 표시하면 나선의 특정 대각선과 일부 수직선, 수평선을 따라서 소수가 조밀하게 분포한다는 것입니다. 컴퓨터로 수십만 개의 수를 써서 만든 커다란 울람 나선도 이런 패턴을 보이는 것은 마찬가지입니다. 수학자들은 울람 나선 속에 있는 패턴이 골드바흐 추축이나 쌍둥이 소수 추축 등과 어떤 관계가 있는지 논의하고 있습니다. 소수의 분포는 랜덤으로 보이지만 결국 모종의 법칙이 있다는 것입니다.

 

소수 정리는 증명하는 데에 한 세기가 걸렸습니다. 소수 자체는 이해하기 어려운 것이 아니지만 아직도 수학자들도 제대로 설명해내지 못하는 수수께끼 같은 패턴을 만들어 냅니다. 과연 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있는지, 2 차이가 나는 쌍둥이 소수는 무한히 많은 것인지 아무도 확실히 알고 있지 않습니다.