집합

집합의 개요

수학의 여러 분야를 공부하는 데 있어서 집합론의 용어와 표기를 이용하는 것이 편리할 때가 많다.

집합론은  19세기 말엽 조오지 부울(George Boole, 1815~1864)과 게오르그 칸도르(Georg F. L. P. Cantor, 1845~1918)에 의하여 개발되었는데 20세기에 접어들면서 수학의 발전에 심대한 영향을 끼쳤다.

직관적으로 '집합(Set)'이란 낱말은 식별가능한 대상들의 모임을 나타내는데 사용되고 그 모임의 개개의 대상들을 그 집합의 원소(element)라고 한다.

대상 a가 집합 S의 원소일 때 이것을 a ∈ S로 나타내고, "a는 S에 속한다(belong)" 또는  "S는 a를 포함한다(contain)"고 말한다.

편의상 원소가 하나도 없는 집합을 생각하여 이것을 공집합(empty set)이라 한다.

집합이 어떤 원소들로 이루어져 있는지를 나타내는 데에는 흔히 다음의 두 방법이 쓰인다. 

첫째로, 집합을 이루고 있는 원소를 순서없이 일려로 나열한 다음에 괄호 { } 로 묶어 나타내는 방법이 있다. 예를 들면, 세 문자 a, b, c로 이루어진 집합 A는 A={a, b, c}로 나타낸다, 또, 자연수 전체의 집합을 N이라 하면

N = { 1, 2, 3, 4, ... } 으로 나타낼 수 있다. 이와 같은 표시법을 원소나열법이라 한다.

둘째로, 집합에 속하는 각 원소 x가 만족하는 어떤 성질 p(x)를 제시함으로써 그 집합을 나타내는 방법이 있다. 이 때, 성질 p(x)를 만족하는 x들 전체의 집합은 { x / p(x) } 로 나타낸다. 또, 성질 p(x)를 만족하는 S의 원소 x들 전체의 집합은 { x∈s / p(x) } 또는 { x / x∈ S, p(x) } 로 나타낸다. 이와 같은 표시법을 조건제시법이라 한다.

주로  다루는 집합은 실수로 이루어진 집합이거나 점들로 이루어진 집합이다. 특히, 다음 집합은 자주 쓰이게 된다.

N = 자연수 전체의 집합

Z = 정수 전체의 집합

Q = 유리수 전체의 집합

R = 실수 전체의 집합

집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, A를 B의 부분집합(subset)이라 하고 , 이것을 A ⊆ B 또는 B ⊇ A 로 나타낸다. 특히 A와 B 사이에 A ⊆ B인 동시에  B ⊇ A 인 관계가 있을 때, 이 두 집합은 같다(equal)고 말하고 이것을 A = B 로 나타낸다. 집합 B의 부분집합 A가 ㅠ와  같지 않을 때, 즉 A ⊆ B 이지만  A ≠ B 일 때, A를  B의 진부분집합(proper subset)이라 하고 이것을 A ⊂ B 또는 B ⊃ A 로 나타낸다.

책에 따라서는 부분집합을 나타낼 때의 기호 ⊆ 대신에 ⊂ 를 사용하고 진부분집합을 나타낼 때도 다른 기호를 사용하기도 한다.

두 집합 A와  B가 있을 때, 

A  ∪ B = { x / x ∈ A 또는 x ∈ B } 를 A와 B의 합집합(union)이라 하고 A ∩ B  = { x/ x∈A, x ∈ B } 를 A와  B의 교집합(intersection) 이라 한다. 또 집합 A의 원소 a와 집합 B의 원소 b로 만든 순서쌍(ordered pair) (a, b) 전체의 집합을 A × B 로 나타내고, 이것을 A와 B의 곱집함 또는 데카르트 곱(Cartesian product)이라 한다.

즉 A × B = { (a, b) / a ∈ A,  b ∈ B } 특히 A × A를 간단히 A ^2 (A의 제곱) 으로 나타내기도 한다.

두 명제 P와 Q가 있을 때 기호 P => Q 는 'P가 참이면 Q도 참이다', 즉 'P는 Q를 함의(imply)한다'를 뜻한다. 

또, 기호 P <=> Q 는  'P가 참일 필요충분조건은 Q가 참인 것이다', 즉  'P는 Q를 함의 하고 Q는 P를 함의한다'를 뜻한다.

두 명제 P와 Q에 대하여  P <=> Q 가 성립할 때 이 두명제는 서로 동치(eqivalent)라고 말한다.  따라서 ' P <=> Q'를 'P와  Q는 동치이다'라고 읽을 수 있다.

실전 문제

임의의 집합 A, B, C에 대하여 다음 각각을 증명하여라.

(a) A × (B∪ C) = (A×B) ∪ (A × C)

(b) A × (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A × C)

 

수학 상식

% 조오지 부울(George Boole, 1815~1864)

요약 영국의 수학자 ·논리학자. 기호논리학(記號論理學)의 창시와 논리대수(Boole 代數)의 전개가 가장 중요한 업적이다. 이 분야의 연구는 《논리와 확률의 수학적 기초를 이루는 사고(思考)의 법칙 연구》라는 불후의 노작(勞作)으로서 결실을 맺었다.

출생~사망	1815.11.2 ~ 1864.12.8
국적	영국
활동분야	수학, 논리학
출생지	영국 링컨
주요저서	《논리와 확률의 수학적 기초를 이루는 사고의 법칙 연구》(1854)

링컨 출생. 빈민 자녀들을 위한 내셔널 스쿨에서 초등교육을 받았다. 라틴어 ·그리스어를 독습하고 초등학교 교사가 되었으나 초등학교에서의 수학교육에 의혹을 느낀 것이 계기가 되어 수학에 관심을 가지게 되었다.

P.S.M.de 라플라스의 《천체역학》, J.L.라그랑주의 《해석역학》을 익힌 후 변분법(變分法)에 관한 하나의 발견에 도달하였고, 계속하여 불변식론(不變式論)을 연구하여 중요한 성과를 얻었다. 그는 이를 《케임브리지 수학잡지》에 기고하여 많은 수학자를 알게 되었고, 대수학 전개의 중요한 일익을 맡은 영국학파 속에서 그 지위를 굳혀나갔다. 1849년 퀸스칼리지의 수학 교수가 되었다.

가장 유명한 업적은 기호논리학(記號論理學)의 창시와 논리대수(Boole 代數)의 전개였다. 논리 또는 추론을 수학적으로 다루려고 한 이 연구는 마침내 《논리와 확률의 수학적 기초를 이루는 사고(思考)의 법칙 연구 An investigation into the laws of thought on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities》(1854)라는 불후의 노작(勞作)으로서 결실을 맺었다.

 

%%게오르그 칸도르(Georg F. L. P. Cantor, 1845~1918)

독일의 수학자. 근방(近傍)·집적점(集積點)·도집합(導集合) 같은 개념을 확립하여 실변수 함수론의 기초를 구축하였다. 또한 대수적 수의 집합 문제를 논하고, 무한집합에 관한 근본적인 문제를 분석하여 고전집합론을 창시하고, 이의 본질적 부분을 완성하였다.

출생~사망	1845.3.3 ~ 1918.1.6
국적	독일
활동분야	수학
출생지	러시아 상트페테르부르크
주요저서	《초한적(超限的) 집합론의 기초에 대한 기여》(1895∼1897)

러시아 상트페테르부르크에서 태어났다. 집합론의 창시자로 알려져 있다. 유대계의 부유한 상인의 아들로서 1850년 아버지와 함께 독일의 프랑크푸르트로 이사한 후로는 그 곳에서 성장하였다. 취리히대학과 베를린대학에서 공부하였고 괴팅겐대학에서도 한 학기를 보냈다. 베를린에서는 E.E.쿠머, K.바이에르슈트라스, L.크로네커 등의 강의를 들었으며, 가우스의 정수론(整數論)에 심취하였다. 1869년 할레대학 강사와 조교수를 거쳐 1879년 정교수가 되었으나, 그 사이에 전개한 혁명적인 무한집합(無限集合)에 관한 연구는 당시의 학계에 격렬한 논쟁을 불러일으켰으며, 특히 크로네커를 대표로 하는 일부 사람들의 비난과 공격은 치열했다고 한다. 이러한 일들의 영향인지는 알 수 없으나 1884년부터 정신장애를 일으켜 정신병원에 입원하기도 하였다.

칸토어의 중요한 연구는 1872년의 삼각함수의 급수 연구에서 출발하였다. 이것으로부터 해석학의 기본적 문제로 향하고, 근방(近傍)·집적점(集積點)·도집합(導集合) 같은 개념을 확립하여 실변수 함수론의 기초를 구축하였다. 한편 대수적 수의 집합 문제를 논하고, 무한집합에 관한 근본적인 문제를 분석하여 고전집합론을 창시하고, 이의 본질적 부분을 완성하였다. 유명한 저서로 《초한적(超限的) 집합론의 기초에 대한 기여 Beiträge zur Begründung der trnsfiniten Mengenlehre》(1895∼1897)가 있다.

 

%%% 뇌파의 종류

보통 수재, 천재라고 일컫는 사람들은 집중력이 매우 강하며, 집중력이 행사되고 있는 상황에서는  뇌에서 "알파"뇌파가 발생하는 것을 알 수 있습니다.

뇌파의 종류와 상태는 아래와 같습니다.

뇌파의 종류	뇌파의 상태
알파파	정신집중한 상태에서 발생. 수재, 천재에게서 흔히 발생
베타파	집중하지 못하고 산만한 상태와 해찰이 심한 상태에서 발생
쎄타파	얕은 수면과 술 취한 상태에서 발생
델타파	깊은 수면과 만취한 상태에서 발생