4차원에 대한 연구의 역사

4차원 공간에 대한 수학적인 관심은 19세기 초반의  독일 수학자인 페르디난트 뫼비우스(Ferdinand Mobius)의 연구에서 시작되었습니다.  4차원 공간에서 3차원 형태를 거울상으로 돌려 놓을 수 있다는 사실을 처음 알아낸 것도  페르디난트 뫼비우스 였습니다.  19세기 후반에는 다차원 기하학이라는 새로운 영역에  두각을 나타낸 세 수학자가 있습니다.  스위스 수학자인 루트비히 슐레플리(Ludwig Schlafli), 영국의 수학자인 아서 케일리(Arthur Cayley), 독일의 수학자인 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)입니다.

슐레플리는 다차원의 다각형과 다면체를 설명하며 플라톤 다면체(정다면체)의 고차원 친척을 찾아냈습니다.  플라톤 다면체는 각 면이 똑같은 다면체이고 각 꼭짓점에서 똑같은 수의 면이 만나는 모든 꼭짓점이 바깥쪽을 향하는 입체도형을 말합니다. 플라톤 다면체에는 다섯 종류가 있는데 정육면체, 정사면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체입니다.  4차원 공간에서 플라톤 다면체에 상응하는 것은 볼록한 4차원 다포체로 '폴리코라'라고도 부릅니다.  슐레플리는 여섯 종류를  찾아내 포체의 수에 따라 이름을 붙였는데 가장 단순한 4차원 다포체는 정사면체 포체 5개, 정삼각형 면 10개, 모서리 10개, 꼭짓점 5개가 있는 정오포체로 4차원의 정사면체라고 할 수 있습니다.   정팔포체인 정십육체는  포체와 꼭짓점, 면과 모서리를  바꾸는 방식으로  만들 수 있으며 역도  마찬가지입니다.   정십육포체는 정사면체 포체 16개, 정삼각형 면 32개, 모서리 24개, 꼭짓점 8개가 있고, 4차원의 정팔면체라고 할 수 있습니다.  다른 두 4차원 다포체는 4차원의 정십이면체라 할 수 있는 정백이십포체와 정이십면체라 할 수 있는 정육백포체입니다. 정팔면체 포체 24개가 있는 정이십사포체의 경우에는 대응하는 3차원 다포체가 없습니다.  슐레플리는 이보다 높은 차원의 정다포체 수는 항상  똑같다는 사실을 알아냈습니다. 

케일리와 리만의 연구를 통하여 4차원에서 복잡한 대수학을 하는 방법과 유클리드(Euclid)가 설명한 규칙을 벗어나는  다차원 기하학으로 확장하는  방법을 배울 수 있습니다.  

 

영국의 수학자이자 교사인  찰스 하워드 힌튼(Charles Howard Hinton)은  러틀랜드의 어핑엄 스쿨에서 만난 동료 교사가  에드윈 애버트(Edwin Abbott)의 친구이며 어핑엄 스쿨의 첫 번째 수학 교사였던 하워드 캔들러(Howard Candler)였습니다. 애버트는 어핑엄 스쿨에 재직 중이던 1884년, 소설 '플랫랜드: 다차원 이야기(Flatland: A Romance of Many Dimension)'를 썼고, 이보다 4년 앞서  힌튼은 대체 공간에 대한 자신의 생각을 '4차원이란 무엇인가?'라는  글에서 밝혔습니다.  이 글에서 힌튼은  3차원의 공간에서 움직이는 입자가 4차원의 공간에서 직선과 곡선의 연속적인 단면일지도 모른다고 주장했습니다.  사람이 실제로는  4차원 생물이며  우리의 의식이 갇혀 있는 3차원 공간을 통과하는 연속적인 상태일 수도 있다고 얘기한 것입니다.  애버트와 힌튼의 관계는 정확히 알 수는 없지만  각자의 글에서 두사람이 서로의  글에서 상대의 연구에 대해 일정부분 인정한 것을 보면 두 사람은 서로의 연구에 대해 알고 있었던 것은 분명합니다. 

영국에서 교사로 재직 중이던 시절 힌튼은 이중혼으로 유죄를 선고받고 감옥에 갇히게 되었습니다.  그 뒤에는 일본으로  가서 학생을 가르치다가  프린스턴대학교의 수학 강사가 되었습니다.   1897년 그 곳에서 야구공 발사기를 설계했는데 이 야구공 발사기가 커브공을 던질 수 있는 멋진 기술은 관 안에 들어있는 굽은 막대 두 개 덕분에 가능했습니다. 

힌튼은 영국에서 교사 생활을 하던 초기부터 4차원에 심취했는데, 그 당시의 사람들은 4차원이 강령술과  관련이 있을지도 모른다고 생각했습니다.  1878년 라이프치히대학교의  천문학과 교수인 프리디리히 쵤너(Friedrich Zollner)는 '4차원 공간에 관하여'라는 제목의 논문을 발표했습니다.  쵤너는 리만이 학생이던 시절 강연을 통하여 공개했던 논문 '기하학의 기저에  깔린 가설에 관하여'를 인용하여 수학적 근거 위에서 글을 시작했습니다. 리만은 괴팅겐대학교에서 스승인  카를 가우스(Carl Gauss)로부터 힌트를 얻어 3차원 공간이 구와 같은 2차원 곡면과 다를 것 없이 휘어질 수 있다는 개념을  생각해냈으며 공간의 곡률이라는 아이디어를 임의의 차원까지 확장했습니다.  타원기하학, 혹은 리만 기하학이라고 불리우는 이 연구는 후에 알베르토 아인슈타인이 만든 일반상대성이론의 토대가 되었습니다. 

쵤너는 사영기하학자인 펠릭스 클라인(Felix Klein)이 1874년에 발표한 논문에서 주장한 4차원 공간으로 들어 올려 뒤집기만 하여도  매듭을 풀고 연결되어 있는 고리를 풀 수 있다는 생각을 빌려왔습니다.  그리하여 쵤너는 고차원 평면에 존재한다고 생각되는 영혼이  유명한 영매인  헨리 슬레이드와 함께 했던 강령술  실험에서 목격되었던 다양한 현상에 대해  설명할 수 있는 배경을 만들었습니다.  쵤너와 마찬가지로 힌튼 역시 우리는 단순한 인식과 습관 때문에 3차원으로만 볼 수 있으며 훈련을 할 수 있다면 우리를 둘러싼 4차원 공간을 볼 수 있을 거라는 생각에 매료되었습니다. 

4차원 물체를 상상하는 것은 어렵지만 4차원 물체를 2차원으로  그리는 건 어렵지 않습니다.  힌튼이 '테서렉트'라고 이름을 붙인  4차원의 정육면체도 그러합니다. 먼저 정사각형 2개가 서로 살짝 떨어져 있도록 그리고 각 꼭짓점을 직선으로 이으면 이것은 정육면체의 입체도처럼 보일 것입니다. 두 정사각형이 공간에서 서로 떨어져 있는 것입니다.  그 다음 각 꼭짓점이 연결된 정육면체 두 개가  되도록 그린다면 4차원 공간에서 우리는 이것을 서로 떨어져 있는 두 정육면체로 볼 수 있을 것입니다. 이것을 테서렉트의 입체도라고 합니다. 

4차원을 3차원으로 나타내려고 한 것은 힌튼 뿐만이 아니었습니다.  힌튼은 1본인이 연구한 테서렉트를 처제인 알리시아 볼 스톳에게 설명했고, 스톳은  4차원 기하학자가 되어 4차원 다포체의 3차원 단면을 모형으로 만들었습니다.

 

1941년 '어스타운딩 사이언스 픽션'에 실린 로버트 하인라인(Robett Heinlein)의 '그리고 그는 비뚤어진 집을 지었다.'는 정육면체 방 8개가 3차원 공간의 테서렉트 같은 구조로 놓인 집을 설계한 독창적인 건축가에 관한 소설입니다.  1950년에 발표된 '뵈비우스라느 이름의 지하철'이라는 소설은 보스턴의 지하철 네트워크가 말리면서 승객이 열차와 함께 다른 차원으로 넘어가는 것을 다룬 소설입니다.  하버드대학교의 천문학자인  도이치(Deutsch)의 소설로 뫼비우스 띠와 클라인 병(면이 하나인 도형으로 4차원에서만 존재함)이

라는 소재를 다루고 있습니다.