4차원에 대하여

차원

우리는 3차원 세상에 살고 있습니다.

직선 같은 1차원이나 종이에 그린 도형과 같은 2차원 물체를 상상하는 것은 쉽지만 3차선을 넘어선 차원으로 보려면 어떻게 해야 할까요?

우리가 알고 있는 세 방향에 수직인 또 다른 방향은 있을 것인지 하는 것은 수학적인 질문으로 보일지도 모릅니다.

과학은 아원자 수준에서 일어나는 일을 설명하기 위해 고차원을 필요로 하고, 이런 여분의 차원은 물질과 에너지에 관한 것을 이해하는 데 큰 도움을 줄 수 있고,  의학과 과학에  쓸 수 있는 강력한 도구를 얻게 되는 것과 같습니다.

차원(dimension)이라는 단어는 측정을 뜻하는 라틴어 dimensionem에서 유래했습니다.

 

물리학자는 흔히 3차원 공간과 1차원 시간에 관해 이야기 하고는 합니다.  아인슈타인이 우리가 사는 세상에서는 공간과 시간이 시공간이라는 하나의 실체로  묶인다는 것을 밝힌 뒤로는 더욱 그러합니다.

빅토리아 시대의 사람들도 공간의 네 번째 차원이라는 것에 대해  관심을 가졌습니다.  당시에 사람들이 관심을 가졌던 다른 대상인 심령술을 설명할 수 있을지도 모른다고 생각해서 더욱 그러했습니다. 1800년대 후반은 아서 코난 도일,  시인 엘리자베스 배럿 브라우닝, 화학자이며 물리학자였던 윌리엄 크룩스 같은 유명인을 비롯해 수많은 사람이 영매의 주장과 죽은 사람들과 소통할 수 있다는 생각에 관심을 가지던 시기였습니다.  사람들은 사후 세상과 현재 우리의 세상이 4차원에서 평행하거나 겹쳐 있어 죽은 사람들이 우리의 세계로  드나들 수 있는지 궁금해 하고는 했습니다.

 

 

수학자의 경우에는  실제로 어떻게 생겼는지 상상하지 않아도 성질을 설명할 수 있습니다. 그렇기 때문에  4차원 대상을 설명하는 것에 대해 어려움을 겪지 않습니다. 고차원을 상상하지 않아도 대수학과 미적분을 이용하면 성질을 알아낼 수 있기 때문입니다.

하나의 원을 생각해 봅시다.  원은 한 점(원의 중심)에서 같은 거리(원의 반지름) 만큼 떨어져 있는 한 평면 위의 모든 점들로 이루어진 곡선입니다. 원은 직선과 마찬가지로 폭이나 높이가 없고 길이만 존재하므로 1차원 물체라고 할 수 있습니다.

우리가 하나의 직선 위에 서 있다고 가정하면 우리가 움직일 수 있는 방향은 선을 따라 직선 방향으로만  움직일 수 있습니다. 마찬가지로 원 위에 서 있는 경우에도 우리는 직선 위에 서 있을 때와 같이 움직이는데 한계가 있을 수밖에 없습니다. 일반적으로 원을 생각할 때 내부까지 포함해서 생각할 수도 있지만 수학적 관점에서 볼 때는  원의 내부가 꽉 차있는 원은 원이 아니라 원반 이라고 생각합니다. 원은  2차원 평면에 넣을 수 있는 1차원 대상이라고 생각할 수 있는 겁니다. 원의 차원을 하나 높이면 구가 나옵니다. 구는 한 점에서 같은 거리만큼 떨어져 있는 3차원 공간 속의 점이 모여 이루어집니다. 일반적으로 2차원 곡면에 불과한 진짜 구와 구의 내부까지 모두 포함하는 대상과 헷갈리는 경우가 있지만 수학자는  구의 내부까지 포함하는 구는 구가 아니라 공이라고 따로 부릅니다. 구는 3차원 공간에 매장할 수 있는 2차원 대상이라고 생각할 수 있습니다. 평범한 구는 2차원이기 때문에 수학자들은 2-구라고 부릅니다. 마찬가지로 원은 1-구라고 부릅니다. 고차원에 있는 구는 초구(hypersphere)라고 하며 같은 방식으로 이름을 붙일 수 있습니다. 

가장 간단하게 생각할 수 있는 초근 3-구로, 4차원 공간에 매장할 수 있는 3차원 물체입니다.  물론 머릿속으로는 상상하기는 힘들지만 유추를 통하여 이해할 수는 있습니다. 원이 굽은 선이고, 평범한 2-구는 굽은 면, 3-구는 굽은 부피라고 생각할 수 있습니다.

수학자들은 간단한 미적분을 통하여 굽은 부피와 3차 초면적 또는 겉부피를 계산할 수 있습니다.  3-구에 관한 이런 사실을 증명하는 것은 매우 쉬우며 실제로 어떻게 생겼는지 몰라도  이해할 수 있습니다.

 

우리가 4차원을 이해할 수 있는 가장 간단한 방법은 3차원과 비슷하게 유추해 보는 것입니다.  4차원 초구가 우리 공간을 지나 갔을 때 어떻게 보이는지 생각하는 것은 구가 평면을 지날 때 어떻게  보이는지 생각해 보면 비슷할 것입니다. 

예를 들어 평면에 사는 2차원 생물이 있다고 생각해 봅시다. 그들이 사는 세상의 표면을 따라 보면 눈에 보이는 것은 모두 2차원 형태로 해석할 수 있습니다.  3차원 구가 2차원 공간과  처음 맞닿았을 때는 점으로 보입니다.  그 점은 점점 커져서 원이 되고 최대일 때의  지름은 3차원 구의 지름과  같습니다.  그 뒤로 원의 크기는 점점 줄어들어 다시 점이 되었다가  구가 통과해 버리면 사라집니다. 마찬가지로 4-구가  우리의 세계와 만나면 우리에게는 점처럼 보일 것입니다.  그 점은 점점 커져서 3차원 구로 최대 크기로 보였다가  다시 작아져 마침내 사라지게 됩니다.  4-구의 진짜 성질인 여분의 차원을 우리가 볼 수는 없지만 나타나서 커지다가 사라지는 모습을 우리는 상상할 수는 있습니다.

 

이론상 4차원 생물은 4차원 공간에서 3차원인 사람을 통째로 뒤집을 수 있습니다.  사람이 4차원 공간에서 뒤집히면 건강에 매우 해롭습니다.  글루코스나 대부분의 아미노산 처럼 우리 몸의  필수적인 화학물질의 대다수는 좌우 방향성을 가지고 있습니다. 예를 들어 봅시다. DNA를 이루는 분자는 이중나선 형태로 항상 오른쪽 방향으로만 돕니다.  만약 이런  분자의 좌우 방향이 뒤집힌다면 사람은 영양실조로 죽게 될 것입니다. 왜냐하면 우리가 먹는 식물과 동물 속의  필수 영양소를 흡수하지 못하게 되기 때문입니다.