레오나르도 피보나치 : 피보나치 수열

오늘은 피보나치수열을 발견한 레오나르도 피보나치에 대해 알아보겠습니다.

피보나치의 생애

레오나르도 피보나치(Leonardo Fibonacci)는 본명이 레오나르도 피사노이며, 피보나치는 그의 별명이었는데 우리에게 피보나치로 더 알려진 이유는 그가 발견한 '피보나치수열'때문입니다.

레오나르도 피보나치는 1170년경 이탈리아 피사에서 태어났습니다. 그의 아버지는 무역 통상 대표이자 세관원이어서 그 덕분에 어려서부터 수판에 의한 계산법을 배우고 인도 기수법을 익히는 등 최신의 이슬람 수학을 배울 수 있었습니다. 피보나치는 여행하는 곳마다 아랍의 상인들이 인도-아라비아 숫자를 사용해 10진법의 위치기수법으로 계산하는 것을 지켜보며, 주판을 사용한 계산 결과가 로마 숫자로 기록하는 방식보다 우월하다는 것을 알게 되었습니다.

피보나치의 일화

레오나르도 피보나치가 피보나치수열을 발견하게 된 계기가 되는 토끼의 번식에 관련한 이야기를 해보려고 합니다.

피보나치의 "산반서(Liber Abach)"라는 책에서 설명하고 있는데요. 그는 "리베르 초콜릿(암페리오) 공식"이라는 문제를 해결하려는 도중에 토끼 번식에 대한 문제에 빠져들게 되었습니다.

일단 토끼 한 쌍이 한 달 후부터 번식을 시작한다고 가정합니다. 번식한 토끼 한 쌍은 그 다음 달부터 매달 한 쌍의 새로운 토끼를 낳습니다. 이러한 번식 패턴을 따라 각 달마다 토끼 쌍의 수를 세어보면, 피보나치 수열의 숫자들과 일치함을 알게 됩니다.
예를 들어, 한 달 후에는 번식을 시작한 토끼 한 쌍이 존재하므로 토끼 쌍의 수는 1입니다. 그 다음 달에는 이전 달의 토끼 쌍이 번식하여 새로운 한 쌍의 토끼를 낳습니다. 따라서 토끼 쌍의 수는 2가 됩니다. 그 다음 달에는 이전 두 달의 토끼 쌍이 번식하여 새로운 한 쌍의 토끼를 낳습니다. 따라서 토끼 쌍의 수는 3이 됩니다. 이런 식으로 번식이 계속되면서 토끼 쌍의 수는 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...과 같이 피보나치수열의 숫자들을 따라 증가합니다.
이 이야기는 단순한 토끼의 번식 문제로 시작하였지만, 피보나치 수열과 그 패턴을 보여줌으로써 수학적인 규칙성을 갖는 자연 현상을 이해하는 데에 큰 도움을 주었습니다. 토끼 번식 이야기는 피보나치 수열을 보다 쉽게 이해하고 기억할 수 있는 재미있는 방법 중 하나로 알려져 있습니다.

피보나치의 업적

1. 피보나치의 수열

레오나르도 피보나치의 가장 중요한 업적은 피보나치수열의 발견입니다. 피보나치수열은 0과 1로 시작하며, 다음 항은 이전 두 항의 합으로 이어지는 수열입니다. 즉, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...과 같이 계속해서 숫자가 커지는 수열이며, 이는 자연계에서 다양한 현상과 패턴에서 나타나는 규칙성을 보여줍니다.
피보나치수열은 수학뿐만 아니라 자연과학, 공학, 컴퓨터 과학 등 여러 분야에서 다양하게 활용됩니다. 그 예로는 단순한 수열의 속성을 연구하는 수학에서부터 골드레이스 비율(Golden Ratio)이나 피보나치 나선 등과 같은 기하학적 현상, 그리고 암호학, 금융, 예술 등 다양한 분야에서의 응용되고 있습니다.

2006년에 상영된 영화<다빈치 코드>에서 은행에 있는 안전 금고의 암호를 풀기 위해 10자리 수를 찾는 과정에서 주인공이 피보나치수열을 이용하여 풀어내는 장면이 인상적이었지요.

2. 인도-아라비아 수학 도입

레오나르도 피보나치는 수학적 지식을 얻기 위해 인도와 아랍 지역에서의 수학을 연구하고, 그것을 유럽으로 가져와 소개했습니다. 그는 인도-아라비아 수학의 여러 가지 기법과 개념을 유럽에 소개함으로써 수학의 발전에 큰 역할을 했습니다.

3. 수학적 서수

레오나르도 피보나치는 서수(congruence) 개념을 도입하여 수학적 연산에 활용했습니다. 이는 수의 나머지에 대한 연산에 관한 개념으로, 이후의 수학 연구와 암호학에 큰 영향을 미쳤습니다.

 

이 외에도 "산반서"라는 책에서 계산 방법론을 비롯하여 다양한 수학적 문제 해결을 위한 수학적 해법을 제시하여, 중세 수학 발전에 지대한 영향을 끼쳤을 뿐 아니라, 기하학에 관한 책도 썼는데 그 책에서는 우리가 익히 들어본 삼각함수의 기초가 수록되어 있습니다.