디오판토스 : 대수학의 아버지

오늘은 미지수를 특정한 기호로 표시하면서 대수학의 발전시킨 수학자 디오판토스를 알아보겠습니다.

디오판토스의 생애

디오판토스의 정확한 출생 연도와 사망 연도는 알려지지 않았으나, 대략 3세기 후반쯤(200년경~300년경)으로 추정합니다.

이집트에서 태어난 그는 알렉산드리아에서 활동한 고대 그리스의 수학자입니다.

디오판토스가 태어난 해와 사망한 해는 명확하지 않지만, 그가 죽었을 당시 나이는 정확히 알 수 있습니다. 어떻게요?

그는 굉장히 유명한 묘비명을 남겼습니다. 

신의 축복으로 태어난 그는 인생의 1/6을 소년으로 보냈다. 그리고 다시 인생의 1/12이 지난 뒤에는 얼굴에 수염이 자라기 시작했다. 다시 1/7이 지난 뒤 그는 아름다운 여인을 맞이하여 화촉을 밝혔으며, 결혼한 지 5년 만에 귀한 아들을 얻었다. 아! 그러나 그의 가엾은 아들은 아버지의 반밖에 살지 못했다. 아들을 먼저 보내고 깊은 슬픔에 빠진 그는 그 뒤 4년간 정수론에 몰입하여 스스로를 달래다가 일생을 마쳤다.

이 내용을 바탕으로 방정식을 세워 풀어보면 디오판토스는 84세에 사망하였음을 알 수 있습니다.

디오판토스의 업적

1. 디오판토스 방정식

디오판토스는 대수학이라는 수학의 한 분야를 정통으로 공부했습니다. 그의 연구 분야는 고대 그리스의 기하학에서 벗어나 바빌로니아인의 대수적 방법에 연구의 뿌리를 두고 있었습니다. 하지만 바빌로니아 대수와 약간의 차이는 있습니다. 바빌로니아 대수는 논과 밭의 크기, 화폐 단위 등 구체적인 사물과 연결하여 수를 다루지만 디오판토스는 수의 개념을 추상화했습니다. 앞의 묘비명에서 알 수 있듯이 그는 수를 무척이나 사랑했습니다. 디오판토스는 "대수학"이라는 책에서 디오판토스 방정식을 다루었습니다. 디오판토스 방정식은 정수해를 갖는 다항식 방정식으로, 이차항 이상의 항들이 모두 정수인 경우를 다룹니다. 디오판토스는 이러한 방정식들에 대해 해의 존재 여부와 해를 구하는 방법을 연구하였으며, 디오판토스 방정식은 대수학의 중요한 개념으로 인정받고 있습니다.

디오판토스의 방정식은 후대의 수학자에게도 큰 영향을 미쳤는데요. 3차 방정식이나 4차 방정식의 해법을 연구한 이탈리아의 타르탈리아와 페라리에게도 영향을 주었습니다. 4차 방정식의 해법이 발견되자 오일러, 라그랑주 등 많은 수학자는 5차 방정식의 해법도 구하려고 도전했지만 모두 실패했습니다. 왜냐하면 5차 방정식의 해법은 '존재하지 않는다'가 답이기 때문입니다. 때로 수학은 답이 없는 것이 답일 때도 있습니다. :)

5차 방정식의 일반적인 해법이 없다는 것을 증명한 수학자는 노르웨이의 천재 수학자 아벨이었습니다. 여러분은 페르마의 마지막 정리를 들어본 적이 있나요? 수학을 좀 한다는 사람들은 이 정리의 대단한 사건을 알고 있을 텐데요.
페르마의 마지막 정리는 일반인에게도 알려졌지만 많은 수학자에게도 현상금이 걸린 문제였습니다. 이 문제가 생긴 이래로 300년 동안 어떤 수학자에게도 그 답을 내어주지 않았습니다.
문제는 간단합니다.

$n이 3 이상의 정수일 때, x^n + y^n = z^n을 만족하는 양의 정수 x, y, z는 존재하지 않는다.$

이것을 증명하는 것이 300년간 누구도 알아내지 못한 비밀의 아성을 지닌 문제였습니다. 이 난제는 1998년에서야 영국 케임브리지 대학의 앤드루 와일즈교수가 해결했는데, 증명이 무려 200쪽이 넘습니다. 이 문제를 촉발시킨 배경에는 디오판토스가 있었습니다.

그것은 바로 페르마라는 수학자가 디오판토스의 책 "산술" 귀퉁이에 이 문제를 증명했는데 여백이 부족하여 적지 못했다는 말이 사건의 발단이 되었습니다.

디오판토스의 "산술" 표지

2. 다각형과 원에 관한 연구

디오판토스는 다각형과 원에 대한 연구를 수행했습니다. 그는 정육각형, 정오각형, 정십각형 등의 규칙적인 다각형의 성질과 특징을 연구했습니다. 또한, 디오판토스는 원의 넓이와 원주에 대한 문제를 다루면서 원의 수학적인 성질을 연구했습니다.

3. 수열과 수학적 귀납법

디오판토스는 수열과 수학적 귀납법에 대해서도 연구했습니다. 그는 등차수열과 등비수열의 합과 규칙성에 대해 연구하였으며, 이를 통해 수학적 귀납법의 개념을 발전시키는 데에 기여했습니다. 디오판토스의 연구는 이후 수학의 발전에 큰 영향을 미쳤습니다.

4. 소수와 소인수분해

디오판토스는 소수와 소인수분해에 대해서도 연구하였습니다. 그는 소수와 소인수분해의 중요성을 이해하고, 이를 통해 다양한 수학적 문제를 해결하려는 노력을 기울였습니다. 디오판토스의 연구는 소수와 소인수분해에 대한 이해를 증진하는 데에 크게 기여했습니다.

5. 수학적 방법론과 추론

디오판토스는 수학적인 방법론과 추론에 대해서도 연구했습니다. 그는 논리적인 증명과 추론을 통해 수학적인 문제를 해결하고자 노력했습니다. 그의 방법론과 추론은 대수학의 발전과 수학적인 연구 방법에 큰 영향을 미쳤으며, 이후 수학자들에게 영감을 주었습니다.